##  [Densité de Probabilité](/fr/node/50648) 

 Définition

Fonction réelle non négative ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 donnant la probabilité par unité de volume de trouver une particule quantique en x au temps t dans la représentation de position ; plus généralement, le diagonal d'un opérateur densité dans une base donnée.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Règle de Born : le module au carré de la fonction d'onde (ou l'élément diagonal de l'opérateur densité) fournit les probabilités des issues de mesure dans la base associée.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une particule décrite par ψ(x,t), la probabilité de la trouver dans la région R est P(R,t)=∫_R |ψ(x,t)|^2 dx. Exemple : pour une gaussienne normalisée centrée en x0 et de largeur σ, la probabilité dans ±σ vaut erf(1/√2)≈0,68.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Interpréter ψ(x,t) lui-même comme une probabilité ou utiliser |ψ|^2 pour des observables incompatibles (par exemple traiter la densité de position comme densité de moment sans transformer l'état) conduit à des erreurs ; attribuer des valeurs négatives à ρ est invalide.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

La densité permet de calculer valeurs moyennes, variances et probabilités de transition ; la normalisation de ρ garantit que les probabilités s'additionnent à un et permet des prédictions statistiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le concept complémentaire est l'amplitude de probabilité ψ : tandis que ρ est réelle et non négative, ψ porte l'information de phase nécessaire au calcul des courants et interférences ; ignorer phase et amplitude fait perdre l'information dynamique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux mesures en espace de position et aux éléments diagonaux d'opérateurs densité dans toute base orthonormée ; exclut les distributions quasi-probabilistes (comme Wigner) qui peuvent être négatives et les objets distributionnels qui ne sont pas de véritables densités de probabilité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la densité de probabilité en tant que distribution mesurable directement et des densités formelles obtenues à partir d'états propres généralisés ou distributions ; tension aussi entre interprétations en termes d'ensemble (fréquence) et événements uniques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La densité de probabilité est la traduction par la règle de Born des états quantiques en densités réelles non négatives dans une base : elle fournit des probabilités mesurables, doit être normalisée ou interprétée pour les spectres continus, et complète l'amplitude qui encode phase et interférence.