## [Opérateur Normal](/fr/node/50680) Définition Un opérateur normal N sur un espace de Hilbert est un opérateur linéaire qui commute avec son conjugué hermitien : NN† = N†N. La normalité généralise des propriétés des opérateurs hermitiens et unitaires utiles pour les décompositions spectrales. ## Principe Principe La commutation avec l'adjoint garantit que N est diagonalizable par une transformation unitaire dans le cas fini-dimensionnel ou borné approprié, permettant un théorème spectral analogue au cas hermitien. ## Démonstration Démonstration En dimension finie toute matrice normale est unitairement diagonalisable. Exemple : une matrice diagonale complexe diag(λ1,λ2) est normale car elle commute manifestement avec son adjoint ; les matrices hermitiennes et unitaires sont des cas normaux. ## Mauvaise application Mauvaise application En déduire que la normalité implique des valeurs propres réelles ou que toute matrice diagonalisable est normale ; la normalité garantit une diagonalisation unitaire mais pas un spectre réel (seul l'hermitien le fait). ## Conséquence Conséquence Identifier correctement les opérateurs normaux permet d'appliquer le théorème spectral : expansion sur des vecteurs propres orthonormés (ou mesures spectrales) et calcul fonctionnel via le spectre de l'opérateur. ## Inversion Inversion Un opérateur non normal ne commute pas avec son adjoint et peut ne pas posséder une base complète de vecteurs propres orthonormés ; de tels opérateurs peuvent être déficients et nécessiter des décompositions de Jordan ou non unitaires. ## Limite Limite L'énoncé suppose des domaines d'opérateurs appropriés et la bornitude pour une diagonalisation unitaire directe ; les opérateurs normaux non bornés exigent des précautions sur les domaines et des mesures spectrales. ## Tension sémantique Tension sémantique Normal versus diagonalizable ou hermitien : la diagonalisation (par similarité) n'implique pas la normalité (qui exige une diagonalisation unitaire), et la normalité contient mais ne coïncide pas avec l'hermiticité ou l'unitarité. ## Synthèse Synthèse Un opérateur normal satisfait NN† = N†N ; cette commutation avec l'adjoint est la propriété structurale qui assure la diagonalisation unitaire et fonde un calcul spectral étendant les cas hermitien et unitaire.