##  [Commutateur](/fr/node/50682) 

 Définition

Le commutateur de deux opérateurs A et B est [A,B] = AB − BA. Il mesure leur non-commutativité et tient une place centrale en cinématique et dynamique quantiques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Des commutateurs non nuls traduisent l'impossibilité de diagonaliser simultanément des observables, engendrent des relations d'incertitude et apparaissent dans les équations du mouvement via l'équation de Heisenberg dO/dt = (i/ħ)[H,O] + ∂O/∂t.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple familier : la position x et l'impulsion p satisfont [x,p] = iħ I, ce qui conduit directement à la relation d'incertitude canonique Δx Δp ≥ ħ/2. Pour les opérateurs de spin, [Sx,Sy] = iħ Sz cycliquement.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser les commutateurs de façon purement algébrique sans vérifier les domaines pour des opérateurs non bornés, ou supposer que [A,B]=0 implique une diagonalisation simultanée en présence de dégénérescence ; ces erreurs produisent des inférences physiques incorrectes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des bornes d'incertitude, des règles de sélection et détermine la structure algébrique des observables et des générateurs de symétrie ; les relations de commutation fixent les règles de quantification canoniques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion opposée est l'anticommutateur, qui symétrise le produit d'opérateurs plutôt que de mesurer l'échec à commuter ; les crochets de Poisson classiques sont l'analogue classique mais diffèrent par des facteurs et des limites.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'algèbre des commutateurs est formelle sauf si les domaines et les problématiques de fermeture des opérateurs non bornés sont spécifiés ; en dimensions infinies apparaissent des subtilités comme l'intersection des domaines et les distributions.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Commutateur versus crochet de Poisson ou crochet classique : le commutateur se réduit à iħ fois le crochet de Poisson dans la limite classique pour des observables appropriées, mais ce sont des structures conceptuellement distinctes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le commutateur [A,B]=AB−BA est la mesure algébrique de la non-commutativité qui sous-tend l'incertitude quantique, la structure des algèbres d'opérateurs et apparaît directement dans les lois dynamiques et les prescriptions de quantification.