##  [Anticommutateur](/fr/node/50684) 

 Définition

L'anticommutateur de deux opérateurs A et B est {A,B} = AB + BA. Il fournit la combinaison symétrisée des produits et est central pour l'algèbre fermionique et les constructions d'opérateurs symétrisés.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'anticommutation encode des relations symétriques entre opérateurs ; pour les degrés de liberté fermioniques les relations canoniques d'anticommutation remplacent les commutateurs et imposent le principe d'exclusion de Pauli et la statistique fermionique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple canonique : opérateurs de création/annihilation fermioniques vérifient {c_i, c_j†} = δij I et {c_i,c_j} = 0, ce qui impose les contraintes de nombre d'occupation. Pour des observables, {A,B}/2 est le produit symétrisé utilisé pour définir des ordres d'opérateurs hermitiens.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser des anticommutateurs là où des commutateurs sont requis pour des générateurs dynamiques, ou substituer par erreur anticommutateurs aux commutateurs dans des relations d'incertitude ; cela confond les structures algébriques bosoniques et fermioniques.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte établit les relations canoniques fermioniques, assure les bonnes statistiques d'échange et fournit des ordonnancements d'opérateurs symétrisés nécessaires à la construction de combinaisons hermitiennes et de valeurs d'attente.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'opération opposée est le commutateur, qui mesure l'échec antisymétrique à commuter et engendre des dynamiques et des structures d'algèbre de Lie plutôt que des relations symétriques.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'anticommutateur est un objet algébrique indépendant des subtilités de domaine en dimension finie ; dans des contextes de dimension infinie ou d'opérateurs non bornés les questions de domaine s'appliquent et doivent être vérifiées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Anticommutateur versus produit de Jordan ou produit symétrisé : l'anticommutateur définit un produit symétrique {A,B}/2 de type Jordan, mais la formalisation en algèbres de Jordan met l'accent sur d'autres propriétés de clôture et de positivité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'anticommutateur {A,B}=AB+BA est la combinaison symétrique d'opérateurs fondamentale pour les relations d'anticommutation fermioniques et les ordonnancements symétrisés ; il complète le commutateur en encodant la structure algébrique symétrique.