##  [Valeur Propre](/fr/node/50686) 

 Définition

Un scalaire λ tel que, pour un opérateur linéaire A sur un espace vectoriel (ou espace de Hilbert en mécanique quantique), il existe un vecteur non nul v vérifiant A v = λ v ; en mécanique quantique, les valeurs propres d'un opérateur hermitien représentant une observable sont les résultats possibles de mesure.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les valeurs propres sont les scalaires spectraux qui caractérisent la manière dont un opérateur étire ou met à l'échelle certaines directions (vecteurs propres) et, pour les observables, codent les grandeurs quantifiées accessibles par mesure.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour l'hamiltonien H d'une boîte infinie unidimensionnelle, résoudre H ψ_n = E_n ψ_n donne des valeurs propres discrètes E_n = (n^2 π^2 ħ^2)/(2mL^2) correspondant aux énergies mesurables autorisées.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer toute racine du polynôme caractéristique d'une matrice finie comme valeur propre physiquement significative dans un contexte d'opérateur à dimension infinie, sans vérifier le domaine et l'auto-adjonction, peut conduire à identifier des valeurs spectrales non physiques.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsqu'elles sont correctement identifiées pour une observable auto-adjointe, les valeurs propres fixent les résultats possibles d'une mesure projective et interviennent dans les décompositions spectrales et les probabilités de transition.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La vue inverse consiste à prendre l'ensemble des valeurs propres comme primaire et à en déduire la structure de l'opérateur ; inverser ainsi la perspective peut masquer le contenu géométrique fourni par les vecteurs propres.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires ; dans les espaces de Hilbert de dimension infinie il faut distinguer le spectre ponctuel (vraies valeurs propres) du spectre continu ou résiduel et exiger des conditions de domaine/auto-adjonction pour les observables physiques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se distingue de la notion algébrique de « racine du polynôme caractéristique » par des exigences en analyse fonctionnelle — une racine algébrique n'est pas nécessairement une valeur propre admissible d'un opérateur quantique non borné.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une valeur propre est l'étiquette scalaire d'une direction sur laquelle un opérateur agit par simple mise à l'échelle ; en mécanique quantique ces scalaires sont les grandeurs mesurables associées aux observables auto-adjointes, avec des subtilités spectrales en dimensions infinies.