## [Opérateur Positif](/fr/node/50704) Définition Un opérateur autoadjoint A sur un espace de Hilbert est positif (noté A ≥ 0) si ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 pour tous les vecteurs ψ de son domaine ; équivalemment A possède un spectre non négatif et admet une racine carrée positive unique A = B†B lorsque A est borné et autoadjoint. ## Principe Principe La positivité donne une structure d'ordre aux opérateurs autoadjoints : les sommes et conjugaisons unitaires préservent la positivité, le calcul fonctionnel produit des fonctions monotones sur le spectre, et les opérateurs positifs admettent des décompositions spectrales avec valeurs propres non négatives ou des mesures spectrales. ## Démonstration Démonstration Exemples : les opérateurs de densité ρ représentant des états quantiques sont positifs avec tr(ρ)=1 ; les projecteurs P = P† = P^2 sont des idempotents positifs ; les états thermiques e^{-βH} (pour H autoadjoint et β≥0) sont positifs et souvent de classe trace. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre positivité et non-négativité des composantes matricielles est une erreur courante ; prétendre que le produit de deux opérateurs positifs est positif sans hypothèse de commutation est faux — AB n'est pas nécessairement autoadjoint ou positif sauf si A et B commutent et sont diagonalissables simultanément. ## Conséquence Conséquence Les opérateurs positifs sous-tendent des observables physiques donnant des valeurs d'espérance non négatives (probabilités, densités), permettent racines carrées et constructions de purification, et fournissent des contraintes exploitées en programmation semi-définie et inégalités d'opérateurs. ## Inversion Inversion La situation inverse est celle d'un opérateur autoadjoint indéfini ou à signe changeant avec parties spectrales positive et négative ; de tels opérateurs n'admettent pas de racine carrée positive et donnent des espérances de signe variable selon l'état. ## Limite Limite La positivité se définit pour des opérateurs (ou formes) autoadjoints sur leur domaine ; strictement positif (défini positif) signifie ⟨ψ|A|ψ⟩ > 0 pour tout ψ non nul. La positivité des applications (applications complètement positives) est une notion distincte de la positivité des opérateurs et ne doit pas être confondue. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre positivité d'opérateur et positivité élémentaire des matrices, et entre semi-définition positive (admettant des valeurs propres nulles) et définition positive stricte ; la positivité d'un opérateur et la propriété d'un canal d'être positivité-préservant sont liées mais distinctes. ## Synthèse Synthèse Un opérateur positif est un opérateur autoadjoint dont la forme quadratique est non négative sur son domaine, équivalemment un opérateur au spectre non négatif ; il constitue une classe ordonnée et physiquement significative d'opérateurs utilisée pour états, observables et inégalités convexes.