## [Opérateur Positif Semi-Défini](/fr/node/50706) Définition Un opérateur linéaire hermitien A sur un espace de Hilbert tel que, pour tout vecteur |ψ⟩, la valeur d'attente ⟨ψ|A|ψ⟩ est non négative ; de façon équivalente, toutes les valeurs propres de A sont ≥ 0. ## Principe Principe Positivité des formes quadratiques : A est semi-défini positif exactement lorsqu'il induit une forme sesquilinéaire non négative, garantissant des espérances de mesure non négatives et une décomposition spectrale en valeurs propres non négatives. ## Démonstration Démonstration Une matrice de densité ρ représentant un état quantique est semi-définie positive : pour tout |ψ⟩, ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0. Par exemple, pour un qubit ρ = [[1/2, 0],[0,1/2]] les valeurs propres sont 1/2 et 1/2, donc ρ est semi-défini positif. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre des entrées de matrice non négatives avec la semi-définition positive : des éléments non négatifs n'impliquent pas ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 pour tout |ψ⟩. Confondre aussi semi-défini positif et défini positif (qui exige strictement > 0 pour tout vecteur non nul). ## Conséquence Conséquence Les opérateurs semi-définis positifs peuvent servir d'effets et de matrices de densité valides ; ils admettent des racines carrées et des décompositions de type Cholesky et se combinent naturellement sous des applications complètement positives. ## Inversion Inversion L'inverse est un opérateur semi-défini négatif, pour lequel ⟨ψ|A|ψ⟩ ≤ 0 pour tout |ψ⟩ ; changer le signe d'un opérateur semi-défini positif produit un opérateur semi-défini négatif et le rend inapte comme effet ou état. ## Limite Limite La notion s'applique uniquement aux opérateurs linéaires hermitiens sur espaces à produit scalaire ; sont exclus les opérateurs non hermitiens, les opérateurs indéfinis (ayant valeurs propres positives et négatives) et les matrices seulement à entrées non négatives. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension sémantique entre 'positif' au sens spectral (valeurs propres non négatives) et 'positif' au sens des éléments de matrice, et entre 'semi-défini' (zéros autorisés) et 'défini' (strictement positif). ## Synthèse Synthèse Un opérateur semi-défini positif est un opérateur hermitien dont la forme quadratique ne prend jamais de valeurs négatives ; cette non-négativité spectrale est la condition mathématique qui rend l'opérateur apte à représenter un état, un effet ou une composante de mesure ou de dynamique quantique.