## [Application Complètement Positive](/fr/node/50720) Définition Une application complètement positive (CP) est une application linéaire Φ entre algèbres d'opérateurs telle que, pour tout système auxiliaire de dimension finie ou infinie quelconque, l'application étendue id_A ⊗ Φ envoie les opérateurs positifs sur des opérateurs positifs. Équivalemment, sur des espaces de dimension finie, Φ admet une décomposition de Kraus Φ(·)=∑_i K_i (·) K_i†, ce qui garantit la positivité sur des entrées intriquées. ## Principe Principe La positivité d'une application sur des systèmes isolés est insuffisante en théorie quantique ; la validité physique exige que la positivité soit conservée lors de l'extension par l'identité sur tout ancilla, assurant que des états intriqués restent positifs — c'est l'exigence de complète positivité. ## Démonstration Démonstration Sur espaces de dimension finie, toute application possédant des opérateurs de Kraus {K_i} définis par Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i† est complètement positive. Contre-exemple : la transposition T est positive sur opérateurs densité d'un seul système mais pas complètement positive car id ⊗ T produit des opérateurs non positifs sur états maximement intriqués. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que toute application positive est physiquement réalisable sur une partie d'un système intriqué ; l'utilisation d'une application simplement positive sur un sous-système peut engendrer des états globaux non physiques (non positifs) lorsque l'état total est intriqué. ## Conséquence Conséquence La complète positivité est une condition structurelle nécessaire pour les descriptions mathématiques de la dynamique de sous-systèmes issues d'une évolution unitaire sur un système plus grand ; exiger CP contraint les représentations admissibles et garantit la stabilité de la positivité sous extension. ## Inversion Inversion Relâcher la complète positivité en faveur de la simple positivité donne des applications valables seulement pour des entrées non corrélées ; inversement, imposer la CP tout en abandonnant la linéarité ou d'autres contraintes opérationnelles sort du cadre standard des opérations quantiques. ## Limite Limite Définie parmi les applications linéaires sur espaces d'opérateurs ; la complète positivité doit tenir pour toutes les dimensions d'ancilla. Exclut les transformations non linéaires et les applications positives seulement sur des ensembles restreints ; en dimension infinie des problèmes techniques de domaine peuvent apparaître. ## Tension sémantique Tension sémantique Complète positivité vs positivité : la positivité vérifie l'image d'opérateurs positifs, tandis que la complète positivité teste la positivité après extension par tout ancilla ; la distinction est cruciale en présence d'intrication. ## Synthèse Synthèse Une application complètement positive est la condition linéaire au niveau des opérateurs qui garantit qu'une transformation agit positivement même lorsque le système est intriqué avec des ancillas arbitraires ; en dimension finie cela équivaut à l'existence d'une représentation par somme d'opérateurs de Kraus et fonde les évolutions de sous-systèmes physiquement réalisables.