##  [Application Préservant la Trace](/fr/node/50722) 

 Définition

Une application préservant la trace est une application linéaire Φ sur des opérateurs qui satisfait Tr[Φ(ρ)]=Tr[ρ] pour tous les opérateurs de trace finie ρ de son domaine. Dans le contexte des états quantiques, la préservation de la trace garantit que les opérateurs densité normalisés restent normalisés après transformation ; combinée à la complète positivité, une telle application est un canal quantique (CPTP).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La conservation de la probabilité totale exige que les transformations physiques d'états normalisés préservent la trace ; ceci s'exprime algébriquement pour que les états de sortie restent des opérateurs densité valides sans renormalisation dans le scénario non sélectif.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans la représentation de Kraus Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i†, une application est préservant la trace exactement si ∑_i K_i† K_i = I. Pour le canal de dépolarisation Φ_p du qubit on peut choisir des opérateurs de Kraus satisfaisant cette identité, garantissant Tr[Φ_p(ρ)]=Tr[ρ] pour tout ρ.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre la préservation de la trace avec la réversibilité ou l'unitarité ; une application préservant la trace peut être irréversible et bruitée. Une autre mauvaise application est d'appliquer la condition de préservation de la trace à une opération conditionnelle (post-sélection) où la trace est censée décroître.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les applications préservant la trace assurent la normalisation des probabilités en moyenne ; combinées à la CP, elles envoient des opérateurs densité sur des opérateurs densité et permettent la composition en série sans facteurs de renormalisation supplémentaires.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Abandonner la préservation de la trace donne des applications CP trace-décroissantes qui décrivent naturellement des mesures sélectives, des opérations annoncées et des canaux post-sélectionnés ; ces applications peuvent mapper des états normalisés sur des états sous-normalisés dont la trace encode la probabilité de sélection.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour des applications linéaires sur opérateurs de classe trace ; la préservation doit tenir pour toutes les entrées du domaine. Exclut les applications qui ne préservent la trace que sur un sous-espace ou les applications destinées à représenter la sélection conditionnelle, et n'implique pas d'autres propriétés comme la réversibilité ou l'unitalité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Préservation de la trace vs Unitalité : la préservation de la trace concerne la conservation de la normalisation des états tandis que l'unitalité concerne la conservation de l'identité (l'état maximument mélangé) ; les deux peuvent être simultanées (canaux bistochastiques) ou séparées, entraînant des comportements opérationnels différents.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une application préservant la trace est la condition linéaire au niveau opérateur qui impose la conservation de la normalisation : pour toutes les entrées valides la sortie a la même trace ; exigée avec la complète positivité elle identifie les transformations d'état non sélectives physiquement admises appelées canaux quantiques.