##  [Théorème de Stone–Von Neumann](/fr/node/50742) 

 Définition

Un théorème affirmant que, pour les systèmes canoniques à nombre fini de degrés de liberté, toutes les représentations irréductibles régulières des relations de commutation canoniques (forme de Weyl des CCR) sont unitaires équivalentes à la représentation standard de Schrödinger ; il établit l'unicité (à équivalence unitaire près) de la quantification sous des hypothèses de régularité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'irréductibilité combinée aux relations de commutation canoniques de Weyl et à une condition de régularité contraint toute représentation à être unitairement équivalente à la représentation de Schrödinger, assurant une structure cinématique quantique unique pour les systèmes à nombre fini de degrés de liberté canoniques.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un seul degré de liberté, la paire d'opérateurs de Weyl W(q,p) satisfaisant la relation de Weyl peut être représentée sur L^2(R) par les opérateurs habituels de position et d'impulsion ; Stone–Von Neumann garantit que toute représentation irréductible régulière de ces relations est unitairement équivalente à cette représentation de Schrödinger.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que le théorème vaut sans restriction en dimension infinie (théorie quantique des champs) ou ignorer les conditions de régularité/continuité ; cela conduit à des conclusions incorrectes sur l'unicité des représentations quand des représentations non équivalentes existent réellement.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une base mathématique solide pour la quantification canonique des systèmes finis, sous-tendant le cadre de Schrödinger standard et expliquant pourquoi des constructions alternatives donnent les mêmes prédictions physiques dans ces systèmes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Pour les systèmes à degrés de liberté infinis, le résultat s'inverse : il existe généralement une infinité de représentations irréductibles non équivalentes des CCR, de sorte que l'unicité échoue et que différentes représentations peuvent correspondre à des phases physiques distinctes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Suppose un nombre fini de degrés de liberté canoniques, l'irréductibilité et la régularité (continuité des opérateurs de Weyl) ; il exclut les systèmes infinis, les systèmes avec obstructions topologiques ou une régularité affaiblie où apparaissent des représentations non équivalentes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'assurance d'unicité pour les systèmes finis garantie par Stone–Von Neumann et la multiplicité de représentations en théorie quantique des champs ; il faut vérifier le domaine de validité du théorème avant d'invoquer l'unicité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de Stone–Von Neumann établit que, sous les hypothèses de degrés de liberté finis et de régularité, les CCR de Weyl admettent une unique représentation irréductible à équivalence unitaire près, justifiant l'utilisation universelle de la représentation de Schrödinger dans ces systèmes tout en signalant que cette unicité disparaît pour les systèmes infinis.