## [Potentiel Delta de Dirac](/fr/node/50978) Définition Un potentiel modélisé par la distribution de Dirac concentrée en un point, V(x)=g δ(x), utilisé comme interaction de portée nulle idéalisée qui induit des discontinuités dans la dérivée tout en préservant la continuité de la fonction d'onde. ## Principe Principe Traiter le potentiel comme une distribution impose, via l'équation de Schrödinger, une condition de saut sur la dérivée de la fonction d'onde au point de support : ψ est continue mais ψ' présente une discontinuité proportionnelle à la force de couplage g, qui fixe états liés et diffusion. ## Démonstration Démonstration En une dimension avec V(x) = -g δ(x) et g>0, il existe exactement un état lié d'énergie E = -m g^2/(2ħ^2) et décroissance exponentielle hors de x=0 ; les états de diffusion montrent réflexion et transmission dépendant de l'énergie avec amplitudes analytiques simples. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser la delta comme une fonction ordinaire (la multiplier par des objets discontinus sans les règles distributionnelles) ou appliquer les formules 1D en 2D/3D sans régularisation conduit à des prédictions erronées ; dans des dimensions supérieures le delta nu est singulier et nécessite régularisation. ## Conséquence Conséquence Le potentiel delta fournit des modèles calculables pour la liaison et la diffusion avec une structure spatiale minimale : il saisit l'essentiel des interactions de courte portée, la formation d'états liés pour tout couplage en 1D et des phases de diffusion analytiques. ## Inversion Inversion Remplacer la delta par un puits attractif de largeur finie donne un comportement qualitatif similaire dans la limite étroite, tandis que la remplacer par δ positif (pic répulsif) élimine les états liés et modifie les phases de diffusion ; le signe et la régularisation sont essentiels. ## Limite Limite Valable comme modèle idéalisé exactement soluble en mécanique quantique non relativiste à une particule et comme limite de potentiels localisés ; ce n'est pas une fonction physique littérale, et au-delà de la dimension 1 il faut prudence (régularisation/renormalisation) ou modélisation par suites. ## Tension sémantique Tension sémantique Il y a tension entre la vision du potentiel delta comme objet distributionnel exact et celle comme cas limite d'un potentiel fini étroit ; l'une donne des conditions analytiques concises, l'autre éclaire les approximations physiques et la régularisation en dimensions supérieures. ## Synthèse Synthèse Le potentiel delta est une interaction de portée nulle idéalisée qui impose un saut de dérivée pour une fonction d'onde continue ; il sert de modèle minimal pour la liaison et la diffusion en 1D tout en exigeant des précautions distributionnelles et une régularisation hors de 1D.