##  [Générateur de Translations](/fr/node/51134) 

 Définition

Un opérateur auto-adjoint G dont l'exponentielle U(a)=exp(-i a·G/ħ) fournit l'opérateur unitaire de translation qui déplace états ou champs de paramètre a ; pour les translations spatiales le générateur est l'opérateur quantité de mouvement.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les translations continues sont engendrées par des opérateurs hermitiens via exponentiation : les relations de commutation du générateur avec les opérateurs de position codent l'action infinitésimale (par ex. [x_i,P_j]=iħ δ_ij), et l'invariance par translations implique la conservation du générateur (lien avec Noether).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En représentation de position, p=−iħ∇ vérifie e^{-i a·p/ħ} ψ(x)=ψ(x+a), donc p est le générateur des translations spatiales ; sur un réseau, le générateur de translation discrète est l'impulsion de réseau dont les exponentielles produisent des décalages par des vecteurs du réseau.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre le générateur avec l'opérateur de translation fini lui-même, ou utiliser le générateur de translations spatiales comme s'il s'agissait du générateur de boosts (qui engendrent des changements de vitesse) conduit à des lois de transformation erronées ; de même, considérer le moment comme générateur dans un contexte où la symétrie translationnelle est brisée est une erreur.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Identifier le générateur permet de construire les opérateurs de translation, de déduire l'algèbre des commutateurs et, lorsque la symétrie de translation est présente, la conservation du moment et des règles de sélection basées sur le moment en diffusion et spectroscopie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le point de vue inverse considère les translations comme primitives et identifie le générateur en différentiant l'opérateur de translation par rapport à son paramètre ; changer le signe de a dans l'exponentielle donne la translation inverse engendrée par −G.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux translations continues et à leurs générateurs de l'algèbre de Lie ; les translations discrètes, les 'translations' internes (rotations de phase) ou les géométries non commutatives exigent des générateurs adaptés et ne suivent pas nécessairement les mêmes relations de commutation simples.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Distinguer le générateur (opérateur hermitien infinitésimal) de l'opérateur de translation fini (exponentielle unitaire) ; les deux décrivent la même symétrie mais jouent des rôles différents pour les relations algébriques infinitésimales et les transformations finies.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un générateur de translations est l'opérateur hermitien (le moment en cas spatial) dont l'exponentielle produit les opérateurs unitaires de translation ; ses relations de commutation avec la position définissent les décalages infinitésimaux, sa conservation découle de l'invariance translationnelle et il sous-tend les règles de sélection et la dynamique en termes de moment.