##  [État Propre d'Énergie](/fr/node/51296) 

 Définition

Un état quantique qui est un vecteur propre de l'opérateur hamiltonien du système et qui possède donc une valeur propre d'énergie bien définie ; lorsqu'il est non dégénéré on l'appelle état stationnaire car son évolution temporelle se réduit à un facteur de phase global.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La règle organisatrice est H|ψ⟩ = E|ψ⟩ : les états propres d'énergie diagonalisent l'hamiltonien de sorte que l'évolution temporelle multiplie l'état par e^{-iEt/ħ}, assurant un résultat de mesure d'énergie net et précis.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Particule dans une boîte infinie : les fonctions d'onde normalisées ψ_n(x)=√(2/L) sin(nπx/L) sont des états propres d'énergie avec des énergies E_n ∝ n^2. Mesurer l'énergie pour ψ_n donne toujours E_n et la densité de probabilité est temporellement invariante, à une phase globale près.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier d'état propre d'énergie un état dont l'espérance d'énergie est simplement fortement concentrée ; confondre l'espérance ⟨H⟩ ou la variance σ_H^2 avec une valeur propre est incorrect sauf si la variance est exactement nulle.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si un système est préparé dans un état propre d'énergie, des mesures d'énergie répétées donnent la même valeur propre et tout observable qui commute avec H est une constante du mouvement ; la décomposition spectrale et la théorie des perturbations reposent sur ce concept.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une superposition d'états propres d'énergie distincts n'est pas un état propre : ses valeurs moyennes peuvent osciller dans le temps, les mesures d'énergie donnent différentes valeurs propres selon une distribution de probabilités et l'état présente une dynamique non triviale.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le concept présuppose un hamiltonien bien défini (généralement hermitien) et un espace de Hilbert adapté ; des extensions sont nécessaires pour des hamiltoniens non hermitiens effectifs, des états stationnaires de systèmes ouverts ou lorsque la dégénérescence impose le choix d'une base propre.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

État propre d'énergie contre espérance d'énergie : un état propre donne une valeur d'énergie nette à la mesure, alors que de nombreux états utiles n'ont qu'une énergie moyenne définie et une variance non nulle.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un état propre d'énergie est le vecteur propre de l'hamiltonien qui donne une issue de mesure d'énergie précise et qui n'évolue que par une phase globale, constituant les blocs stationnaires des spectres et de la dynamique quantiques.