##  [Entropie Relative Quantique](/fr/node/51330) 

 Définition

Une mesure de distinction entre deux états quantiques, définie pour opérateurs densité ρ et σ par S(ρ||σ) = Tr[ρ (log ρ − log σ)] lorsque le support de ρ est inclus dans celui de σ ; elle généralise la divergence de Kullback–Leibler au cadre quantique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'entropie relative quantifie le taux asymptotique auquel on peut distinguer ρ de σ dans les tests d'hypothèse sur de nombreuses copies et est une quantité monotone sous applications complètement positives et trace-préservantes, reflétant l'irréversibilité des transformations d'état.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans les tests d'hypothèse quantiques, les lemmes de Chernoff et de Stein relient les exposants d'erreur à l'entropie relative : pour de nombreuses copies, l'exposant d'erreur de Type II optimal à erreur de Type I fixée est donné par l'entropie relative entre les deux états.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer l'entropie relative sans vérifier les conditions de support (par ex. appliquer log σ quand σ a des valeurs propres nulles là où ρ a du poids) peut produire des valeurs infinies ou non définies et des conclusions opérationnelles invalides.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une application correcte fournit des bornes opérationnelles pour la discrimination de canaux, les inégalités de traitement des données et les différences d'énergie libre thermodynamique ; elle sous-tend de nombreux monotonnes de ressource et preuves de sécurité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser les rôles de ρ et σ met en évidence l'asymétrie : S(ρ||σ) ≠ S(σ||ρ) en général ; la considérer comme une distance symétrique induit en erreur et invalide des interprétations exigeant des propriétés métriques.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour opérateurs positifs semi-définis de trace unitaire avec relations de support appropriées ; des extensions existent par régularisation ou domaines restreints, mais l'usage naïf sur états singuliers ou opérateurs non normalisés dépasse le périmètre.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la vision de l'entropie relative comme 'distance' et son rôle opérationnel en tant que divergence asymétrique ; cela crée une friction face à la distance de trace ou la fidélité, qui sont symétriques et métriques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'entropie relative quantique est une divergence asymétrique mesurant la distinguabilité d'un état par rapport à un autre, centrale en tests d'hypothèse, théories de ressource et contraintes de traitement des données, mais non métrique et sensible au support.