##  [Distance de Trace](/fr/node/51334) 

 Définition

Une mesure de distinguabilité de type métrique entre états quantiques définie comme la moitié de la norme trace de leur différence ; elle varie de 0 pour états identiques à 1 pour états parfaitement distinguables en dimension finie.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La distance de trace donne le biais maximal (sur toutes les mesures) pour distinguer deux états en une expérience à coup unique ; elle satisfait l'inégalité triangulaire et se contracte sous applications complètement positives et trace-préservantes (principe de traitement des données).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour deux états purs orthogonaux la distance de trace vaut 1, ce qui signifie qu'il existe une mesure qui les distingue avec certitude ; pour états mixtes proches la distance vaut la moitié de la somme des différences absolues des valeurs propres dans une base diagonalisante.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la distance de trace comme synonyme de fidélité ou d'entropie relative sans tenir compte des différences opérationnelles (p. ex. worst-case à coup unique vs distinguabilité moyenne ou asymptotique) conduit à des affirmations de performance erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien utilisée, la distance de trace fournit des bornes serrées sur les probabilités d'erreur en discrimination à coup unique et assure des garanties opérationnelles worst-case pour l'indistinguabilité cryptographique et les seuils de correction d'erreur.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

En inversant la perspective, on peut exprimer la proximité par la fidélité ou l'entropie relative, qui mettent respectivement l'accent sur la probabilité de transition ou la distinguabilité asymptotique ; cette inversion clarifie quel régime opérationnel on cible.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie convenablement pour opérateurs de classe trace ; en espaces de Hilbert de dimension infinie il faut prudence car la norme trace peut être infinie et les interprétations opérationnelles exigent des restrictions de domaine.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation worst-case, optimisée par mesure, de la distance de trace et d'autres mesures de similarité spécifiques à la tâche ; choisir la distance de trace privilégie des scénarios adversariaux à coup unique plutôt que des métriques en moyenne.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La distance de trace est une mesure de distinguabilité optimisée par mesure —utile pour évaluations worst-case à coup unique— complémentaire de la fidélité et de l'entropie relative, qui capturent d'autres régimes opérationnels.