## [Transformée de Fourier (Quantique)](/fr/node/51430) Définition La transformation intégrale unitaire qui mappe les fonctions d’onde entre bases conjuguées (le plus souvent position et impulsion) en décomposant un état en composantes d’onde plane ; en mécanique quantique elle réalise le changement de base entre représentations en position et en impulsion. ## Principe Principe La position et l’impulsion sont des variables conjuguées reliées par la relation de commutation canonique [x,p]=iħ ; la transformée de Fourier exprime une fonction d’onde comme coefficients des états propres d’impulsion et préserve les produits scalaires (unitarité) si la normalisation est cohérente avec ħ et la convention choisie. ## Démonstration Démonstration Conventions usuelles : ψ̃(p)=⟨p|ψ⟩=(1/(2πħ)^{1/2}) ∫_{−∞}^{∞} e^{−ipx/ħ} ψ(x) dx, et inverse ψ(x)=(1/(2πħ)^{1/2}) ∫ e^{ipx/ħ} ψ̃(p) dp. Sous évolution libre, chaque composante de moment acquiert une phase e^{−iE(p)t/ħ} fixée par la relation de dispersion. ## Mauvaise application Mauvaise application Omettre ou mal placer les facteurs ħ ou 2π, utiliser une normalisation incohérente rendant la transformée non unitaire, ou appliquer la transformée de Fourier continue à des états non L^2 (ondes planes) sans le formalisme de l’espace de Hilbert renforcé/distributions. ## Conséquence Conséquence Fournit la représentation en impulsion, permet de calculer distributions de moment et valeurs d’attente, sous-tend la relation d’incertitude position–impulsion et simplifie la résolution temporelle quand l’hamiltonien est diagonal dans la base impulsionnelle. ## Inversion Inversion La transformée inverse restitue la représentation originale ; remplacer la transformée de Fourier par d’autres transformées intégrales (ondelettes, transformée de Fourier fractionnaire) change les grandeurs conjuguées diagonalées et peut échanger localité et résolution spectrale. ## Limite Limite Valable pour fonctions d’onde carrément intégrables L^2(R^n) avec la normalisation appropriée ; généralisée aux distributions pour états propres idéalisés et aux transformées de Fourier discrètes pour systèmes à spectre discret ou conditions aux limites périodiques. ## Tension sémantique Tension sémantique Des conventions différentes de phase et de normalisation (emplacement des facteurs 2π, signe de l’exposant) induisent une tension sur la forme précise de la transformée ; c’est sémantique plutôt que physique, mais mélanger les conventions mène à des erreurs de calcul. ## Synthèse Synthèse La transformée de Fourier en mécanique quantique est le changement de base unitaire entre représentations de position et d’impulsion, gouverné par ħ et les conventions de normalisation ; elle manifeste la conjugaison de x et p et est indispensable pour obtenir amplitudes en impulsion et étudier l’évolution.