## [Densité Spectrale](/fr/node/51444) Définition Une fonction ou une mesure qui quantifie comment le poids spectral d'un opérateur ou d'un système est réparti sur une variable continue telle que l'énergie, la fréquence ou l'impulsion ; exemples : la densité d'états par énergie et la fonction spectrale A(k,ω) donnant l'occupation ou la réponse résolue en énergie. ## Principe Principe D'après le théorème spectral et la théorie de la réponse linéaire : un opérateur autoadjoint correspond à une mesure projective dont la dérivée (lorsqu'elle existe) est la densité spectrale ; en théorie des systèmes à plusieurs corps, les densités spectrales sont reliées aux fonctions de Green et leurs parties imaginaires déterminent les raies spectrales observables et les durées de vie. ## Démonstration Démonstration La densité d'états d'une particule libre en trois dimensions évolue comme ρ(E)∝V√E pour une dispersion non relativiste, et la fonction spectrale A(k,ω)=-(1/π)Im G^R(k,ω) encode des pics de quasiparticules et leurs largeurs mesurables en spectroscopies comme la photoémission. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre la densité spectrale quantique (mesure spectrale d'opérateur ou fonction spectrale en théorie à plusieurs corps) avec la densité spectrale de puissance classique de signaux stochastiques, ou interpréter des niveaux discrets de taille finie comme des densités continues sans lissage ou mise à l'échelle des effets de taille finie. ## Conséquence Conséquence Une utilisation correcte permet de prédire fonctions de réponse, spectres d'absorption et d'émission, taux de décroissance et coefficients de transport ; elle fait le lien entre spectres d'opérateurs, fonctions de corrélation et signaux expérimentaux résolus en fréquence ou énergie. ## Inversion Inversion Un spectre à points purs composé de pics δ discrets (sans densité continue), pour lequel une fonction densité peut n'exister que comme somme de δ pondérés ; dans ce cas le poids spectral est concentré sur des valeurs propres discrètes. ## Limite Limite S'applique aux opérateurs sur espaces de Hilbert et aux fonctions de corrélation en systèmes à plusieurs corps ; la densité spectrale peut être une mesure singulière combinant parties continues, absolument continues, singulièrement continues et ponctuelles, et son existence comme fonction L1 demande des conditions non toujours satisfaites. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre les différents usages du terme selon les sous-domaines : « densité spectrale » peut désigner densité d'états, densité spectrale de puissance ou fonction spectrale en systèmes à plusieurs corps ; mathématiquement c'est une mesure associée à un opérateur, tandis que les physiciens la traitent souvent comme une fonction lissée après moyennage. ## Synthèse Synthèse La densité spectrale est la mesure ou la densité décrivant la répartition du poids spectral d'un opérateur ou d'un système en énergie, fréquence ou impulsion : elle découle du théorème spectral, se connecte aux fonctions de Green et à la réponse, et peut apparaître comme fonction lisse ou mesure singulière selon le système.