##  [Opérateur Résolvant](/fr/node/51446) 

 Définition

Fonction opératorielle R(z) = (zI - H)^{-1} définie pour un paramètre complexe z qui n'appartient pas au spectre d'un opérateur linéaire H sur un espace de Hilbert ; elle fournit l'inverse du décalage et encode les propriétés spectrales de H.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Considérer le résolvant comme une application analytique en z dont les pôles et la structure en coupures renseignent sur les valeurs propres, le spectre continu et les projections spectrales ; utiliser les identités du résolvant pour relier des opérateurs et construire un calcul fonctionnel.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une matrice hamiltonienne de dimension finie H, calculer R(z) par inversion matricielle ; les pôles de R(z) coïncident avec les valeurs propres de H. En théorie de la diffusion, le résolvant du hamiltonien complet se relie au résolvant libre via la relation de Lippmann–Schwinger et fournit les fonctions de Green.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter d'évaluer R(z) pour z dans le spectre comme s'il s'agissait d'un opérateur borné, ou ignorer les domaines pour un H non borné, conduisant à des expressions divergentes ou à des conclusions spectrales incorrectes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte produit des projections spectrales, des représentations intégrales de l'évolution temporelle (par transforms de Laplace/Fourier inverses), des séries de perturbation pour les résolvants et des fonctions de Green concrètes pour des équations inhomogènes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Se concentrer sur le spectre lui‑même (ponctuel, continu, résiduel) plutôt que sur le résolvant analytique ; au lieu d'utiliser l'inverse (zI - H)^{-1}, étudier directement les propriétés de H telles que vecteurs propres et formes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini uniquement pour z hors du spectre ; pour des opérateurs non bornés, il faut préciser domaines et fermeture ; la prolongation analytique et les valeurs limites (z → E ± i0) exigent une interprétation topologique et distributionnelle soignée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Chevauche la notion de fonction de Green (souvent identique à des conventions près), la notion de propagateur temporel et les décompositions spectrales directes — la confusion survient en changeant d'image sans contrôler les conventions.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'opérateur résolvant est l'inverse analytique de l'opérateur décalé qui condense l'information spectrale en un seul objet utilisable pour la décomposition spectrale, la théorie des perturbations et la construction des fonctions de Green ; ses singularités signalent directement résonances et états liés.