##  [Fonction P de Glauber–Sudarshan](/fr/node/51454) 

 Définition

Représentation en espace des phases de l'opérateur densité comme poids (généralisé) sur les projecteurs d'états cohérents : ρ = ∫ P(α) |α⟩⟨α| d^2α. La fonction P est le noyau pour l'ordre normal et peut être fonction régulière, négative ou une distribution fortement singulière.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La représentation P situe les états quantiques dans une « ensemble » apparent de states cohérents : un P régulier et non négatif correspond à un mélange classique d'états cohérents ; la négativité ou la singularité signale de la non‑classicité et impose une interprétation distributionnelle.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Un état cohérent a P(α) = δ^2(α − α0) ; un état thermique possède une P gaussienne ; un état de nombre (Fock) donne une P très singulière comportant des dérivées de deltas, illustrant la structure non classique.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter P comme une densité de probabilité ordinaire pour tous les états ou tenter une évaluation numérique naïve sans régularisation entraîne des pathologies mathématiques et des conclusions physiques trompeuses.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un critère direct de classicité (existence d'une P régulière non négative), relie aux valeurs moyennes d'opérateurs en ordre normal et sous-tend de nombreux calculs en optique quantique et mesures de non‑classicité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Utiliser la fonction Q de Husimi pour une représentation régulière et positive ou Wigner pour une représentation réelle intermédiaire ; quand P est singulière, revenir à l'opérateur ou à d'autres images d'espace des phases pour un traitement rigoureux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

P est en général une fonction généralisée (distribution) ; tous les états quantiques n'ont pas une P bien comportée et la reconstruction exige lissage ou régularisation ; la représentation dépend de la surcomplétude des états cohérents.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation apparemment classique de P et sa nature souvent singulière ou négative ; débat sur le fait que la singularité ou la négativité constitue la signature définitive de la non‑classicité par rapport à la négativité de Wigner ou d'autres mesures.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La fonction P de Glauber–Sudarshan exprime l'opérateur densité comme un poids sur les états cohérents, offrant la représentation la plus proche d'une image classique : décisive pour la classicité lorsqu'elle est régulière et non négative, mais souvent formelle et distributionnelle, nécessitant une régularisation pour l'usage physique.