##  [Opérateur de Position Z](/fr/node/51526) 

 Définition

L'Opérateur de Position Z est l'opérateur auto-adjoint qui renvoie la coordonnée z de la position d'une particule dans la base des positions. En représentation spatiale, il agit par multiplication : (Zψ)(x,y,z) = z·ψ(x,y,z), et son spectre couvre la droite réelle avec des vecteurs propres généralisés localisés en z (distributions δ de Dirac).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Il représente l'observable hermitienne du composant z de la position ; son action est multiplicative en représentation de position et il fournit la valeur propre de coordonnée mesurée lors d'une mesure de position en z.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une particule en trois dimensions de fonction d'onde ψ(x,y,z), la valeur moyenne est ⟨Z⟩ = ∫ d^3r ψ*(r) z ψ(r). Une mesure idéale donnant z0 correspond formellement à une projection sur la distribution δ(z − z0) (intégrée sur x,y).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer Z comme un opérateur différentiel de type impulsion, s'attendre à des vecteurs propres normalisables, ou ignorer la nature distributionnelle de ses états propres ; l'utiliser sans préciser les conditions aux limites dans des systèmes confinés ou discrets.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Traité correctement, Z fournit les densités de probabilité pour les mesures en z et des valeurs moyennes réelles ; comme il commute avec X et Y, des valeurs nettes simultanées correspondent à des états propres distributionnels localisés sur les trois coordonnées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

À opposer à l'opérateur d'impulsion Pz, qui est un opérateur dérivé (−iħ ∂/∂z) et engendre les translations en z ; Z multiplie la fonction d'onde par la coordonnée et engendre des déphasages en représentation impulsionnelle.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Z est non borné sur l'espace de Hilbert L^2(R^3) et possède un spectre continu égal à R ; ses vecteurs propres ne font pas partie de l'espace de Hilbert mais du triplet d'espaces (rigged Hilbert space) ; sur un réseau ou avec conditions périodiques le spectre devient discret et la forme multiplicative doit être adaptée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Sépare l'opérateur agissant sur les états quantiques de l'étiquette de coordonnée classique z : le même symbole z sert d'opérateur multiplicatif et de paramètre classique, ce qui peut conduire à confondre opérateur et coordonnée si l'on néglige les domaines et le spectre.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Opérateur de Position Z est l'opérateur hermitien de multiplication par la coordonnée z en représentation de position ; il formalise la mesure de la localisation en z tout en requérant un langage de rigged Hilbert et une attention aux domaines, spectres et conditions aux limites.