##  [Opérateur de Quantité de Mouvement X](/fr/node/51528) 

 Définition

L'Opérateur de Quantité de Mouvement X est l'opérateur auto-adjoint représentant la composante x du moment linéaire. En représentation de position il agit comme P_x = −iħ ∂/∂x (à préciser selon domaine et conditions aux limites) ; ses états propres généralisés sont des ondes planes e^{i p_x x/ħ} et son spectre est continu sur la droite réelle en espace non borné.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Il représente le moment le long de l'axe x, engendre les translations en x via l'opérateur unitaire exp(−i a P_x/ħ) et satisfait la relation de commutation canonique avec la position : [X,P_x] = iħ.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une particule unidimensionnelle de fonction d'onde ψ(x), P_x ψ = −iħ ∂ψ/∂x. Un état propre de moment d'impulsion p0 est ψ_p0(x) ∝ exp(i p0 x/ħ) ; la mesure de P_x donne p0 avec une probabilité déterminée par le module carré de l'amplitude en représentation impulsion (transformée de Fourier).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter P_x comme un simple opérateur multiplicatif en espace des positions, ignorer l'extension auto-adjointe et les conditions aux limites (par ex. sur un intervalle fini), ou confondre les états propres formels en ondes planes avec des états physiques normalisables.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte donne des valeurs moyennes réelles, des opérateurs de translation unitaires et les relations d'incertitude standard avec X ; P_x en tant que générateur de translations explique comment la conservation de l'impulsion est liée à l'homogénéité spatiale.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

À opposer à l'opérateur de position X, qui multiplie par x et possède des états propres localisés ; P_x est un opérateur différentiel lié aux gradients de phase, non aux valeurs directes de position.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

P_x est non borné et requiert la spécification de son domaine et d'une extension auto-adjointe adéquate ; dans une boîte finie ou sur un réseau le spectre de moment devient discret ou en bandes et la forme −iħ∂/∂x doit être modifiée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'idée de moment comme générateur de translations (vision opérateur) et comme variable classique en espace des phases ; la forme différentielle dépend de la représentation et des choix de jauge en présence de potentiels vecteurs.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Opérateur de Quantité de Mouvement X est l'opérateur différentiel hermitien −iħ ∂/∂x en représentation de position, qui implémente la composante x du moment linéaire, avec des subtilités de domaine, conditions aux limites et jauge, et un lien direct avec la symétrie de translation et les relations de commutation canoniques.