##  [Opérateur de Quantité de Mouvement Z](/fr/node/51532) 

 Définition

L'Opérateur de Quantité de Mouvement Z est l'opérateur auto-adjoint associé à la composante z du moment linéaire. En représentation de position il apparaît formellement comme P_z = −iħ ∂/∂z, avec des états propres généralisés en ondes planes portant un moment le long de z ; il génère les translations en z et intervient dans les relations de commutation canoniques avec Z.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Il représente le moment physique le long de z, engendre les translations exp(−i a P_z/ħ) sur la coordonnée z et satisfait [Z,P_z] = iħ, liant les propriétés de mesure aux générateurs de symétrie.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Agissant sur une fonction d'onde 3D ψ(x,y,z), P_z ψ = −iħ ∂ψ/∂z. Un état onde plane exp(i p_z z/ħ) est un autofonction formelle de valeur propre p_z ; l'amplitude en représentation impulsion détermine la distribution des valeurs p_z mesurables via la transformée de Fourier en z.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser la dérivée formelle sans tenir compte du domaine ou des conditions aux limites (par ex. dans des systèmes confinés), traiter les ondes planes comme états normalisables dans des calculs probabilistes, ou ignorer le couplage minimal en présence de champs électromagnétiques qui modifie P_z.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien traité, P_z fournit des résultats de mesure réels, met en œuvre la symétrie de translation le long de z et intervient directement dans les relations d'incertitude avec Z ; il génère aussi des contributions dynamiques via des commutateurs avec l'hamiltonien si approprié.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Contraire à l'opérateur multiplicatif Z : Z donne les valeurs de coordonnée par multiplication, tandis que P_z différentie et se rapporte à la phase ; en représentation impulsionnelle les rôles s'inversent et P_z agit par multiplication tandis que Z différencie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Non borné, de spectre continu en espace libre et d'états propres généralisés hors de l'espace de Hilbert ; sur des domaines finis, des systèmes périodiques ou des réseaux le spectre est modifié et des extensions auto-adjointes ou expressions adaptées (dérivées discrètes, phases de Peierls) peuvent être nécessaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'expression différentielle simple de P_z et les modifications imposées par des champs de jauge, le confinement ou la topologie ; tension conceptuelle entre le moment comme générateur de translations et comme coordonnée de l'espace des phases.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Opérateur de Quantité de Mouvement Z est l'opérateur différentiel hermitien −iħ ∂/∂z (en représentation de position) qui encode la composante z du moment linéaire, soumis à des subtilités de domaine, conditions aux limites, jauge et spectre, et intimement lié à la symétrie de translation et aux statistiques de mesure.