##  [Équation aux Valeurs Propres d'Impulsion](/fr/node/51544) 

 Définition

L'équation d'opérateur P|p⟩ = p|p⟩ qui définit les valeurs propres d'impulsion p et les vecteurs propres généralisés |p⟩ de l'opérateur impulsion P ; en représentation de position cela se réduit à l'identité différentielle −iħ ∂/∂x ⟨x|p⟩ = p ⟨x|p⟩ satisfaite au sens distributionnel par des ondes planes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une équation aux valeurs propres relie un opérateur observable à des résultats scalaires et leurs vecteurs propres ; pour l'impulsion elle caractérise le générateur des translations et spécifie le spectre d'impulsion utilisé dans les décompositions spectrales et les lois de conservation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En utilisant ⟨x|p⟩ ∝ e^{ipx/ħ}, on vérifie −iħ ∂/∂x e^{ipx/ħ} = p e^{ipx/ħ}. L'équation sous-tend P = ∫ p |p⟩⟨p| dp et la résolution des états en espace d'impulsion.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre cette identité spectrale avec une loi d'évolution temporelle ou appliquer la forme différentielle à des fonctions hors du domaine de l'opérateur ; traiter p comme opérateur plutôt que comme valeur propre scalaire dans des contextes nécessitant précaution sur les domaines.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Établit la forme des fonctions propres d'impulsion et justifie l'utilisation de projecteurs d'impulsion pour modéliser les mesures et les quantités conservées ; elle se relie aussi aux relations de commutation menant aux principes d'incertitude.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Basculer vers l'équation aux valeurs propres de position X|x⟩ = x|x⟩ échange les rôles différentiel et multiplicatif des opérateurs et inverse les intuitions physiques associées à la localisation versus le mouvement.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour des opérateurs impulsion auto-adjoints sur des espaces de configuration continus non compacts ; des adaptations ou analogues discrets sont requis sur des variétés compactes, des réseaux ou en théorie quantique relativiste des champs où le moment d'une particule unique a une structure supplémentaire.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la forme différentielle heuristique et les subtilités rigoureuses des domaines d'opérateurs non bornés ; entre les fonctions propres idéalisées en ondes planes et les états de largeur finie préparables expérimentalement.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Équation aux Valeurs Propres d'Impulsion est l'identité opératorielle P|p⟩ = p|p⟩, réalisée en espace de position par −iħ ∂x⟨x|p⟩ = p⟨x|p⟩, qui définit le spectre d'impulsion, fonde l'analyse en espace d'impulsion et relie la symétrie de translation à la conservation.