##  [Condition aux Limites de L'Équation de Schrödinger](/fr/node/51576) 

 Définition

Une contrainte sur le comportement spatial ou sur le domaine d'une fonction d'onde de Schrödinger qui doit être satisfaite pour que l'Hamiltonien soit un opérateur auto-adjoint valide et pour que l'évolution soit physiquement admissible ; exemples : annulation à l'infini, conditions de Dirichlet ou Neumann aux parois rigides, conditions d'appairage aux discontinuités de potentiel.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Imposer des conditions aux limites qui rendent le domaine de l'Hamiltonien auto-adjoint et garantissent la normalisabilité et la conservation de la probabilité ; ces conditions déterminent les fonctions propres admises et quantifient les spectres dans les systèmes confinés.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Particule dans une boîte à potentiel infini : la fonction d'onde doit s'annuler aux bords psi(0)=psi(L)=0, ce qui engendre un ensemble discret de fonctions propres stationnaires et des énergies quantifiées.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer des conditions aux limites périodiques à une boîte finie sans justification physique, ou forcer la continuité de la dérivée à travers un potentiel en delta alors que l'appairage correct exige une discontinuité de la dérivée, conduit à des spectres erronés ou à des opérateurs non auto-adjoints.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Des conditions aux limites correctement imposées fournissent un problème spectral bien défini avec des valeurs propres réelles, des fonctions propres orthogonales, une évolution unitaire et des calculs d'espérance-valeur valides.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu de fixer des conditions spatiales aux limites, on peut spécifier des conditions asymptotiques de diffusion ou employer des paramètres d'extensions auto-adjointes qui paramètrent les comportements aux limites admissibles ; inverser ces contraintes peut transformer des états liés en continuum de diffusion.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux contraintes spatiales et de domaine sur les fonctions d'onde et leurs dérivées pour les problèmes de Schrödinger dépendants ou indépendants du temps ; cela ne précise pas les résultats de mesure et ne remplace pas la nécessité de traiter les domaines d'opérateurs, les extensions auto-adjointes ou les choix de jauge.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Condition aux limites vs condition initiale : les conditions aux limites restreignent le comportement spatial/du domaine et les domaines d'opérateurs, tandis que la condition initiale fixe l'état à un instant ; condition aux limites vs condition d'appairage : l'appairage traite les discontinuités locales alors que les conditions aux limites visent souvent les bords globaux du domaine.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Les conditions aux limites de l'équation de Schrödinger sont les contraintes au niveau du domaine qui, avec l'Hamiltonien, définissent un problème spectral auto-adjoint ; elles imposent l'admissibilité physique (normalisabilité, conservation de la probabilité) et déterminent ainsi les états propres autorisés et la nature (discrète vs continue) du spectre.