Die Darstellung eines linearen Operators als diagonale Matrix (oder als Multiplikationsoperator) bezüglich einer geeigneten Orthonormalbasis, sofern eine solche Basis existiert; in endlichdimensionalen Hilberträumen ist dies die Eigenwertzerlegung durch eine unitäre Basisänderung für normale Operatoren und durch den Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren.

Prinzip

Ein Operator ist diagonalisierbar, wenn seine Wirkung auf Basisvektoren zu unabhängigen Skalarmultiplikationen reduziert werden kann; dies erfordert genügend Eigenvektoren (keine Defekte) und in der Regel Normalität (Vertauschung mit seinem Adjunkten), damit ein unitärer Operator ihn diagonalisiert.

Demonstration

Für eine hermitesche Matrix H existiert eine unitäre U mit U† H U = diag(λ1, …, λn); für einen unbeschränkten selbstadjungierten Operator auf L2(R) beschreibt der Spektralsatz ihn als Integral über projektionswertige Maße, was die diagonale Darstellung auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert.

Fehlanwendung

Die Behauptung der Diagonalisierbarkeit für eine nicht-normale Matrix (mit weniger als n unabhängigen Eigenvektoren) oder das Verwechseln eines Jordan-Blocks mit einer Diagonalen führt zu fehlerhafter Funktionalrechnung und falscher Dynamik; ebenso ist die Diagonalisierung in einer unvollständigen Basis oder ohne Betrachtung der Definitionsbereiche in unendlichen Dimensionen missbräuchlich.

Konsequenz

Ist Diagonalisierung möglich, so werden Operatorgleichungen zu skalaren Gleichungen, Exponentialoperatoren und Funktionen von Operatoren werden vereinfacht, Berechnungen der Zeitentwicklung und Messstatistiken lassen sich auf Eigenwerte reduzieren und Spektralvielfachheiten werden sichtbar.

Umkehrung

Das Gegenstück ist ein nicht-diagonalisierbarer (defekter) Operator oder ein Operator, der nur eine Jordan-Normalform besitzt: Er lässt sich nicht in reine Skalarmultiplikation zerlegen und besitzt verallgemeinerte Eigenvektoren sowie nilpotente Anteile.

Abgrenzung

Gilt für beschränkte normale Operatoren in endlicher Dimension und für selbstadjungierte/normale Operatoren gemäß dem Spektralsatz in unendlicher Dimension; ausgeschlossen sind generische nicht-normale beschränkte Operatoren ohne vollständige Eigenvektorbasis; unbeschränkte Operatoren erfordern Vorgaben zu Definitionsbereichen.

Semantische Spannung

Naheliegende Konzepte sind Blockdiagonalisierung, singuläre Wertzerlegung (die mittels zweier unitärer Matrizen diagonalisiert, aber nicht notwendigerweise durch Similarität) und die spektrale Zerlegung für kontinuierliche Spektren — alle vereinfachen strukturell, unterscheiden sich aber in Voraussetzungen und Invarianten.

Synthese

Diagonalisierung ist die Reduktion eines Operators auf unabhängige skalare Wirkungen in einer vollständigen Orthonormalbasis, sofern die spektralen Bedingungen erfüllt sind; sie verbindet Operatoralgebra mit skalaren Spektralinformationen für Funktionalrechnung und Dynamik.