Ein selbstadjungierter Operator A auf einem Hilbertraum ist positiv (A ≥ 0), wenn ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 für alle Vektoren ψ in seinem Definitionsbereich; äquivalent hat A ein nicht-negatives Spektrum und besitzt eine eindeutige positive Quadratwurzel A = B†B, falls A beschränkt und selbstadjungiert ist.

Prinzip

Positivität verleiht dem Raum selbstadjungierter Operatoren eine Ordnungsstruktur: Summen und unitäre Konjugationen erhalten Positivität, Funktionalrechnung liefert monotone Funktionen auf dem Spektrum, und positive Operatoren haben spektrale Zerlegungen mit nicht-negativen Eigenwerten oder Spektralmaßen.

Demonstration

Beispiele: Dichtematrizen ρ, die Quantenzustände repräsentieren, sind positiv mit tr(ρ)=1; Projektoren P = P† = P^2 sind positive Idempotente; thermische Zustände e^{-βH} (für selbstadjungiertes H und β≥0) sind positiv und oft spurklassig.

Fehlanwendung

Positivität mit elementweiser (matrix-)Nichtnegativität zu verwechseln ist ein häufiger Fehler; die Annahme, dass das Produkt zweier positiver Operatoren positiv ist, ist ohne Vertauschung falsch — AB muss nicht selbstadjungiert oder positiv sein, außer A und B kommutieren und sind simultan diagonalisiert.

Konsequenz

Positive Operatoren bilden die Grundlage für physikalische Observablen mit nicht-negativen Erwartungswerten (Wahrscheinlichkeiten, Dichten), erlauben Quadratwurzeln und Reinigungskonstruktionen und liefern Einschränkungen, die in semidefiniten Programmierungen und Operatorungleichungen verwendet werden.

Umkehrung

Die Umkehr ist ein indefiniter oder vorzeichenwechselnder selbstadjungierter Operator mit positiven und negativen Spektralanteilen; solche Operatoren besitzen keine positive Quadratwurzel und liefern Erwartungswerte wechselnden Vorzeichens abhängig vom Zustand.

Abgrenzung

Positivität ist für selbstadjungierte Operatoren (oder Formen) auf ihrem Definitionsbereich definiert; strikt positiv (positiv definit) bedeutet ⟨ψ|A|ψ⟩ > 0 für alle nicht nullen ψ. Positivität von Abbildungen (vollständig positive Karten) ist eine eigenständige Idee und nicht mit Operatorpositivität zu verwechseln.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Operatorpositivität und elementweiser Matrixpositivität sowie zwischen positiv semidefinit (Nulleigenschaften erlaubt) und strikt positiv; Positivität eines Operators und Positivitätserhaltung durch Karten (Kanäle) sind verwandt, aber unterschiedliche Konzepte.

Synthese

Ein positiver Operator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen quadratische Form auf dem Definitionsbereich nicht-negativ ist, bzw. ein Operator mit nicht-negativem Spektrum; er bildet eine ordnungsstrukturierte, physikalisch relevante Klasse von Operatoren für Zustände, Observablen und konvexe Ungleichungen.