Der bipartite Operator, der aus einer linearen Abbildung Λ:B(H)→B(K) gewonnen wird, indem Λ auf die eine Hälfte eines (meist maximal verschränkten) Operators angewendet wird: J(Λ)=(id_H ⊗ Λ)(|Φ⟩⟨Φ|), wobei |Φ⟩ der kanonische (normierte oder nicht normierte, je nach Konvention) maximal verschränkte Vektor auf H⊗H ist. Die Choi-Matrix kodiert vollständige Positivität: Λ ist CP genau dann, wenn J(Λ) positiv semidefinit ist.

Prinzip

Eigenschaften linearer Abbildungen in Eigenschaften von Operatoren auf dem Tensorprodukt übersetzen: Positivität der Choi-Matrix charakterisiert vollständige Positivität; partielle Spuren von J(Λ) drücken Spur-erhaltende oder unital-Einschränkungen aus.

Demonstration

Für den Identitätskanal Id_H ist die Choi-Matrix der Projektor auf den maximal verschränkten Zustand; für den vollständigen Depolarisierungs-Kanal ist die Choi-Matrix proportional zum maximal gemischten Operator auf H⊗K.

Fehlanwendung

Den Choi-Kriterium anwenden, ohne Basis-/Konventionsentscheidungen zu beachten (normierter vs. unnormierter |Φ⟩ oder Transpositionskonventionen) oder den Positivitätstest auf Abbildungen in unendlichen Dimensionen ohne Domänenkontrolle anzuwenden.

Konsequenz

Wandelt Kanalverifikation und Tomographie in zustandsbasierte Aufgaben um, ermöglicht semidefinite Programmformulierungen für Kanäle und verknüpft Kanaleigenschaften wie Verschränkung direkt mit der Operator-Verschränkung der Choi-Matrix.

Umkehrung

Statt Abbildungen in Operatoren zu übersetzen, kann man Superoperator-Darstellungen oder Kraus-Zerlegungen als primitiv betrachten; die Umkehr besteht darin, die lineare Abbildung selbst zu analysieren statt ihres Choi-Operators.

Abgrenzung

Standardkonstruktion in endlichen Dimensionen zwischen Eingangsraum gleicher Dimension H (oder mit geeigneter Referenzbasis); bei unendlichen Hilberträumen, nicht vollständig positiven Abbildungen oder verschiedenen Eingangs- und Referenzräumen treten Subtilitäten auf.

Semantische Spannung

Spannung zu anderen Matrix-Umordnungen (Reshuffling, natürliche Darstellung, dynamische Matrix): unterschiedliche Konventionen liefern verwandte Matrizen, die sich durch Transposition oder Umordnung unterscheiden, aber dieselben Informationen enthalten.

Synthese

Die Choi-Matrix ist die Operatorrepräsentation einer linearen Abbildung, die entsteht, indem man die Abbildung auf die eine Hälfte eines maximal verschränkten Zustands anwendet; Positivität und partielle Spuren dieses Operators erfassen vollständige Positivität und Spur-Einschränkungen der ursprünglichen Abbildung.