Die gewöhnliche Differentialgleichung für den radialen Faktor der Wellenfunktion nach Trennung der Variablen in Kugelkoordinaten für ein Zentralpotential; enthält typischerweise ein effektives Potential mit einem Zentrifugalterm.

Prinzip

Die Trennung der Variablen in der Schrödingergleichung bei Kugelsymmetrie ergibt ein Eigenproblem für die Winkelabhängigkeit und eine radiale gewöhnliche Differentialgleichung; der Zentrifugalterm l(l+1)/(2mr^2) stammt von den Drehimpulsoperatoren.

Demonstration

Beim Wasserstoffatom enthält die Radialgleichung für R_{n,l}(r das Coulomb-Potential und die Zentrifugalbarriere; ihre Lösung liefert diskrete Energieniveaus und normalisierte radiale Wellenfunktionen, die sich mittels verallgemeinerter Laguerre-Polynome darstellen lassen.

Fehlanwendung

Das Weglassen des Zentrifugalterms für l ≠ 0 oder die Anwendung der für 3D-Kugelgeometrie abgeleiteten Radialgleichung in einer anderen Geometrie (z. B. auf einer Ebene) führt zu falsch quantitativen und qualitativen Ergebnissen.

Konsequenz

Korrekte radiale Gleichungen bestimmen radiale Knoten, Normierung und Energiequantisierung; sie steuern Tunneleffekte durch die Zentrifugalbarriere und legen Randbedingungen bei r→0 und r→∞ fest.

Umkehrung

Wenn die Trennung nicht möglich ist (nicht-zentrales Potential oder gekoppelte Kanäle), existiert keine einzelne Radialgleichung; man muss die vollständige partielle Differentialgleichung oder ein gekoppelte System radiale Gleichungen lösen.

Abgrenzung

Gilt für skalare Zentralpotentiale in drei Dimensionen mit Kugelkoordinaten; Anpassungen sind nötig für andere Dimensionen, Spin-Bahn-Kopplung, relativistische Gleichungen oder Vektorpotentiale.

Semantische Spannung

Der Ausdruck 'Radialgleichung' bezieht sich auf die Gleichung für den radialen Faktor der Wellenfunktion, unterscheidet sich von Gleichungen für die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte oder den radialen Anteil von Operatoren; Normierungs- und Maßfragen (Faktor r^2) führen häufig zu Missverständnissen.

Synthese

Die Radialgleichung ist die reduzierte eindimensionale Differentialgleichung, die beschreibt, wie die radiale Amplitude unter einem effektiven Potential aus dem zentralen Potential und der Zentrifugalbarriere variiert und damit die radiale Struktur quantenmechanischer Zustände bestimmt.