Eine Bloch-Funktion ist ein Einzelteilchen-Eigenzustand in einem räumlich periodischen Potential, der sich schreiben lässt als ψ_k(r) = e^{i k·r} u_k(r), wobei u_k(r) die Periodizität des Gitters besitzt; sie beschreibt delokalisierte Zustände, die durch einen Kristallwellenvektor k und nicht durch einen festen kanonischen Impuls gekennzeichnet sind.

Prinzip

Die Translationssymmetrie eines periodischen Potentials erlaubt es, Eigenfunktionen so zu wählen, dass sie unter Gittertranslationen nur eine Phasenfaktor erhalten; daher trennen sich Lösungen in einen ebene-Wellen-Phasenfaktor und eine gitterperiodische Amplitude, und k klassifiziert die Lösungen modulo reziproker Gittervektoren.

Demonstration

Im eindimensionalen Kronig–Penney-Modell liefert die Lösung der Schrödingergleichung Eigenfunktionen in Bloch-Form; die Darstellung von |ψ_k(x)|^2 zeigt eine ebene-Wellen-Modulation multipliziert mit einer periodischen Hülle, die sich in jeder Einheitszelle wiederholt.

Fehlanwendung

Eine Bloch-Funktion als lokalisiertes Orbital zu behandeln und ohne Bildung von Wannier-Funktionen direkt zur Berechnung lokalisierter Ladungen zu verwenden oder ħk mit dem mechanischen Impuls eines Elektrons im Gitter gleichzusetzen, führt zu fehlerhaften Aussagen über Lokalisation und Transport.

Konsequenz

Bloch-Funktionen sind die Grundlage der Bandbildung, erlauben die Definition der Dispersionsrelationen E_n(k) und liefern die Gruppengeschwindigkeit v_g = (1/ħ)∇_k E_n(k); sie ermöglichen symmetriegestützte Auswahlregeln und vorhersagbares Transportverhalten in sauberen Kristallen.

Umkehrung

Das Gegenstück sind vollständig lokalisierte Basen wie Wannier-Funktionen oder lokalisierte Defektzustände, die die Translationssymmetrie brechen; in stark desorbten oder lokalisierten Regimen gilt die Bloch-Form nicht und Eigenzustände lassen sich nicht als ebene Welle mal periodische Hülle darstellen.

Abgrenzung

Gilt für Einteilchen- oder mittelfeldartige Beschreibungen in Systemen mit wohl-definiertem Gitter und Translationssymmetrie (unendliche Kristalle oder periodische Randbedingungen); nicht uneingeschränkt anwendbar auf stark korrelierte Vielteilchen-Zustände, amorphe Festkörper oder isolierte Verunreinigungen ohne Anpassung.

Semantische Spannung

Bloch-Funktion vs Wannier-Funktion: Bloch-Funktionen betonen die Delokalisierung im k-Raum und den Kristallimpuls, während Wannier-Funktionen den räumlichen Lokalcharakter hervorheben; die Begriffe sind nahe, aber für verschiedene Fragestellungen unterschiedlich nützlich.

Synthese

Eine Bloch-Funktion ist die kanonische Darstellung eines Eigenzustands in einem periodischen Potential: sie verbindet die Translationssymmetrie durch einen ebene-Wellen-Phasenfaktor e^{i k·r} mit einer gitterperiodischen Hülle u_k(r) und bildet die Grundlage für die Herleitung von Bändern, Geschwindigkeiten und symmetriegeprüften Übergängen in Kristallen.