Ein quantenmechanisches Observable, das mit Eintrittszeiten oder Dauern physikalischer Ereignisse verknüpft ist; allgemein dargestellt durch ein positive operator-valued measure (POVM), das Wahrscheinlichkeiten für Messzeiten zuweist, oder — sofern spektrale und Definitionsbereichsbedingungen es zulassen — durch einen selbstadjungierten Operator, dessen spektrale Messung Zeitverteilungen liefert.

Prinzip

Existiert ein selbstadjungierter Operator, der kanonisch zum Hamiltonoperator konjugiert ist und auf einem geeigneten Definitionsbereich wohldefiniert ist, so erzeugt er Zeitstatistiken über seine spektale Messung; ist dies nicht möglich (z. B. bei halbbeschränktem Hamiltonoperator), so muss das Zeitobservable als POVM oder durch ein Hilfsuhr-System und ein operationales Kopplungsmodell konstruiert werden.

Demonstration

Die Ankunftszeitverteilung eines freien Teilchens, das einen Detektor trifft, wird durch eine POVM auf der positiven Zeitachse modelliert, deren Elemente die Wahrscheinlichkeitsdichte angeben, dass der Detektor in einem infinitesimalen Zeitintervall auslöst. Alternativ kann eine Quantenuhr (Ancilla) mit an das System verschränkten Zeigerzuständen eine gemessene Verteilung von Ereigniszeiten liefern.

Fehlanwendung

Die Behandlung der Zeit als gewöhnlichen selbstadjungierten Operator, der zu jedem Hamiltonoperator kanonisch konjugiert ist, ohne Spektrum- und Definitionsbereichsbedingungen zu prüfen; oder die Gleichsetzung des Schrödinger-Zeitparameters mit einem Zeitobservable und deren austauschbare Verwendung in Wahrscheinlichkeitsaussagen.

Konsequenz

Richtig formulierte Zeitobservablen liefern operationale Vorhersagen für Zeitstatistiken (Ankunftszeiten, Verweilzeiten, Lebensdauern) und klären Entwurf und Grenzen quantenmechanischer Uhren, Detektorantworten und zeitaufgelöster Experimente.

Umkehrung

Der umgekehrte Standpunkt besteht darin, Zeit ausschließlich als externen klassischen Parameter in Evolutionsgleichungen zu behandeln, eine Operator- oder POVM-Beschreibung von Ereigniszeiten zu verweigern und damit probabilistische Aussagen darüber zu unterbinden, wann Ereignisse auftreten.

Abgrenzung

Gilt für die probabilistische Beschreibung des Zeitpunktes von Messergebnissen, nicht für den globalen Evolutionsparameter in der Schrödinger-Gleichung; nicht jedes System besitzt einen selbstadjungierten Zeitoperator, und viele zeitliche Fragestellungen sind nur als POVMs oder in modellabhängigen Uhrrahmen wohlformuliert.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen «Zeit als Evolutionsparameter» (extern, nicht beobachtbar) und «Zeit als Observable» (Operator oder POVM, der Statistik für Ereignisse liefert); die beiden Auffassungen fallen nur in eingeschränkten Modellen oder mit präzisen operationalen Definitionen zusammen.

Synthese

Ein Zeitobservable ist das operationale quantenmechanische Objekt — im Allgemeinen eine POVM, in speziellen Fällen ein selbstadjungierter Operator — das die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür liefert, wann bestimmte Ereignisse oder Zeitdauern eintreten, konstruiert durch Spektraltheorie falls möglich oder durch Kopplung an Uhren und Detektoren.