El conjunto continuo de (generalizados) estados propios |x⟩ del operador posición que satisfacen ⟨x|x'⟩ = δ(x−x') y ∫ dx |x⟩⟨x| = I, lo que da la función de onda en posición ψ(x)=⟨x|ψ⟩ y la densidad de probabilidad |ψ(x)|^2.

Principio

Representación espectral del operador posición: el operador posición autoadjunto tiene espectro continuo y sus autokets generalizados forman una resolución delta-normalizada de la identidad, proporcionando la representación en posición de estados y operadores.

Demostración

Una partícula en la recta tiene la base de posición {|x⟩ : x ∈ ℝ} de modo que un paquete de onda normalizado ψ(x) da la probabilidad de hallar la partícula en dx como |ψ(x)|^2 dx; la ecuación de Schrödinger aparece como una ecuación diferencial en ψ(x).

Aplicación incorrecta

Tratar |x⟩ como un estado normalizable físico o ignorar la rigurosidad necesaria para kets delta-normalizados; sustituir |x⟩ por paquetes de onda fuertemente localizados y derivar conclusiones erróneas sobre estados propios de energía finita.

Consecuencia

Proporciona la representación en posición de operadores (por ejemplo, momento como −iħ∂/∂x) y el cálculo directo de probabilidades de posición y valores esperados mediante integrales sobre |ψ(x)|^2.

Inversión

Usar una base de posición discreta en una red o la base de autovectores de momento/energía en su lugar; en una red la normalización delta continua se reemplaza por deltas de Kronecker y sumas.

Límite

Formalmente pertenece al rigged Hilbert space: |x⟩ no son elementos normalizables del espacio de Hilbert sino distribuciones; requiere manejo cuidadoso de dominios, condiciones de contorno y medidas en espacios de configuración multidimensionales o curvos.

Tensión semántica

Tensión entre los kets de posición formalmente delta-normalizados y los estados físicamente localizados (paquetes de onda); también entre la representación de posición y otras representaciones (momento, energía) que pueden ser más convenientes para un problema dado.

Síntesis

Una base continua formal de estados propios del operador posición que da la función de onda en posición y resuelve la identidad por integración, permitiendo densidades de probabilidad y representaciones diferenciales de observables.