Un operador autoadjunto G cuya exponencial U(a)=exp(-i a·G/ħ) produce el operador unitario de traslación que desplaza estados o campos por el parámetro a; en traslaciones espaciales el generador es el operador momento.

Principio

Las traslaciones continuas son generadas por operadores hermíticos mediante exponenciación: las relaciones de conmutador del generador con los operadores de posición codifican la acción infinitesimal (p. ej. [x_i,P_j]=iħ δ_ij), y la invariancia frente a traslaciones implica la conservación del generador (conexión con Noether).

Demostración

En la representación de posición, p=−iħ∇ satisface e^{-i a·p/ħ} ψ(x)=ψ(x+a), por lo que p es el generador de traslaciones espaciales; en una red, el generador de traslaciones discretas es el momento de la red cuyas exponenciales producen desplazamientos por vectores de la red.

Aplicación incorrecta

Confundir el generador con el operador de traslación finito, o usar el generador de traslaciones espaciales como si fuera el generador de boost (que genera cambios de velocidad) conduce a leyes de transformación incorrectas; asimismo es erróneo considerar al momento como generador cuando la simetría de traslación está rota.

Consecuencia

Identificar el generador permite construir operadores de traslación, derivar el álgebra de conmutadores y, cuando existe la simetría de traslación, la conservación del momento y reglas de selección basadas en el momento en dispersión y espectroscopía.

Inversión

El punto de vista inverso trata a las traslaciones como primarias e identifica el generador diferenciando el operador de traslación respecto de su parámetro; invertir el signo de a en la exponencial da la traslación inversa generada por −G.

Límite

Se aplica a traslaciones continuas y sus generadores de la álgebra de Lie; las traslaciones discretas, las 'traslaciones' internas (rotaciones de fase) o las geometrías no conmutativas requieren generadores adaptados y pueden no obedecer las mismas relaciones de conmutador simples.

Tensión semántica

Diferenciar el generador (operador hermítico infinitesimal) del operador de traslación finito (exponencial unitario); ambos describen la misma simetría pero desempeñan papeles distintos en las relaciones algebraicas infinitesimales frente a las transformaciones finitas.

Síntesis

Un generador de traslaciones es el operador hermítico (momento en el caso espacial) cuya exponencial genera operadores unitarios de traslación; sus relaciones de conmutador con la posición definen desplazamientos infinitesimales, su conservación sigue de la invariancia traslacional y subyace a reglas de selección y dinámicas basadas en el momento.