Un homomorfismo de un grupo al grupo lineal proyectivo de un espacio vectorial o, físicamente, una asignación de elementos del grupo a operadores unitarios definidos hasta una fase global, de modo que solo la acción sobre rayos del espacio de estados debe respetar la ley de grupo.

Principio

Los estados cuánticos son rayos, no vectores, por lo que las simetrías solo necesitan representarse hasta factores de fase complejos; las representaciones proyectivas clasifican esas acciones de simetría y son matemáticamente equivalentes a representaciones ordinarias de extensiones centrales (grupos de recubrimiento) caracterizadas por clases de cohomología.

Demostración

El spin 1/2 es el ejemplo canónico: las rotaciones que actúan sobre espinores definen una representación proyectiva de SO(3) porque una rotación de 2c0 multiplica un espinor por -1; elevando a SU(2) se obtiene una representación lineal unitaria cuya restricción a SO(3) es proyectiva.

Aplicación incorrecta

Olvidar la ambigüedad de fase y exigir una representación lineal de valor único del grupo original cuando la topología lo impide conduce a contradicciones; de forma inversa, tratar las fases proyectivas como físicamente observables (fases absolutas medibles) malinterpreta la equivalencia de rayos.

Consecuencia

Las representaciones proyectivas explican la existencia de spin semientero y obligan a trabajar con grupos de recubrimiento o a incluir cargas centrales; afectan la clasificación de implementaciones de simetría posibles e imponen condiciones de cuantización sobre observables.

Inversión

Reemplazar una representación proyectiva por una representación lineal de un grupo mayor (extensión central) elimina la ambigüedad de fase pero cambia el grupo representado; alternativamente, al tomar el cociente por las fases se reduce una representación lineal a una proyectiva.

Límite

Las representaciones proyectivas son relevantes cuando los estados físicos son rayos; no sustituyen a las representaciones lineales cuando existe una acción unitaria de valor único. La clasificación matemática depende de la segunda cohomología del grupo; anomalías y obstáculos topológicos pueden restringir más las realizaciones.

Tensión semántica

La tensión está entre considerar los factores de fase como libertades de gauge (irrelevantes físicamente) y considerar las extensiones centrales como físicamente significativas (conduciendo a nuevas cargas conservadas); ambas perspectivas llevan a cálculos prácticos distintos.

Síntesis

Una representación proyectiva captura la acción físicamente significativa de un grupo sobre rayos cuánticos permitiendo ambigüedades de fase; refleja las restricciones topológicas que generan números cuánticos semienteros e indica el recurso a extensiones centrales o grupos de recubrimiento para restaurar la linealidad.