Un operador vectorial de cuatro componentes W^μ = -½ ε^{μνρσ} J_{νρ} P_σ construido a partir de los generadores de Poincaré (momento angular total J_{μν} y cuadrimomento P_μ) que codifica las propiedades de spin/helicidad intrínsecas de partículas relativistas y figura en los invariantes de Casimir del grupo de Poincaré.

Principio

Construir un objeto covariante del grupo de Poincaré que conmute apropiadamente con las traslaciones y cuyo cuadrado (W^2), junto con P^2, funcione como operadores de Casimir para clasificar representaciones irreducibles por masa y spin (o helicidad para estados sin masa).

Demostración

Para una partícula masiva en su marco de reposo P^μ = (m,0) las componentes espaciales reducen a W^i = m S^i con S^i los operadores de spin; los autovalores de W^2 dan s(s+1) m^2, identificando el spin s. Para partículas sin masa W^μ es proporcional al momento y caracteriza la helicidad.

Aplicación incorrecta

Usar el vector de Pauli–Lubanski de forma no covariante o aplicar la interpretación del marco de reposo de partículas masivas a excitaciones sin masa; manejar mal el orden de operadores u olvidar que para representaciones sin masa la construcción en reposo deja de tener sentido.

Consecuencia

Proporciona una clasificación invariante de los estados de partículas bajo Poincaré: masa y spin (o helicidad) emergen como etiquetas de representación, lo que rige las reglas de selección y los multipletes de estados permitidos en teorías cuánticas relativistas.

Inversión

El vector de spin no relativista S^i se recupera en el límite apropiado, pero no es un objeto covariante bajo Poincaré; volver a un momento angular puramente orbital elimina el contenido de spin intrínseco que captura el vector de Pauli–Lubanski.

Límite

Definido dentro de teorías con una álgebra de Poincaré bien definida; en espacio‑tiempo curvo o en modelos no relativistas la construcción no se aplica directamente. Para partículas sin masa el vector ya no proporciona spin en reposo sino que fija la helicidad.

Tensión semántica

Hay tensión conceptual con las nociones separadas de momento angular orbital y con los operadores de spin no relativistas: Pauli–Lubanski empaqueta el spin intrínseco de forma covariante, pero la separación intrínseco/orbital puede ser ambigua en teorías de campo con interacciones.

Síntesis

El vector de Pauli–Lubanski es el operador covariante del grupo de Poincaré que codifica la información de momento angular intrínseco (spin/helicidad); su Casimir W^2 junto con P^2 clasifican las representaciones relativistas y reconcilian la noción de spin con la simetría de Lorentz.