Una sucesión de transformaciones unitarias aplicadas al Hamiltoniano de Dirac que lo pone en forma bloque-diagonal separando los sectores de 'grandes' (energía positiva) y 'pequeñas' (energía negativa) componentes hasta un orden dado en 1/m, proporcionando un Hamiltoniano apto para una expansión no relativista y una interpretación física clara de los operadores.

Principio

Emplear transformaciones unitarias sucesivas y cuidadosamente escogidas para eliminar los términos impares (fuera de la diagonal respecto al signo de energía) orden por orden en una expansión en 1/m, desacoplando así los subespacios de energía positiva y negativa y haciendo explícitos los límites no relativistas y las identificaciones de operadores.

Demostración

Aplicando la técnica de Foldy–Wouthuysen a la ecuación de Dirac en un campo electromagnético externo se obtiene el Hamiltoniano de Pauli más correcciones relativistas como el acoplamiento espín-órbita y el término de Darwin al orden 1/m^2; los operadores transformados de posición y espín adquieren las formas esperadas en el régimen no relativista.

Aplicación incorrecta

Truncar la expansión más allá de su dominio de validez, aplicar resultados FW para campos estáticos a campos fuertemente dependientes del tiempo o ultraintensos, o asumir una transformación FW única cuando diferentes elecciones unitarias pueden producir diferentes formas de órdenes superiores.

Consecuencia

Produce un Hamiltoniano con separación manifiesta de escalas de energía, clarifica el límite clásico (no relativista) y ofrece formas no ambiguas de los operadores observables como posición y espín en el régimen aproximado, facilitando la comparación con experimentos y análisis semiclasicos.

Inversión

La representación original de Dirac deja mezcladas las componentes grandes y pequeñas y complica la interpretación de los operadores de posición y espín; deshacer la transformación FW restaura el acoplamiento entre los sectores de energía positiva y negativa.

Límite

Se apoya en la existencia de una brecha energética y en que los campos externos varíen lentamente frente a la escala de la masa, de modo que la expansión en 1/m converge; no es apropiada para partículas sin masa, procesos con producción de pares cerca del umbral o campos extremadamente fuertes/rapidamente variables.

Tensión semántica

Compite con otros esquemas de reducción (p. ej. reducción de Pauli u otras transformaciones unitarias); existe tensión entre la búsqueda de una transformación única y covariante y el hecho práctico de que distintas elecciones unitarias producen diferentes formas operativas a órdenes superiores.

Síntesis

La transformación de Foldy–Wouthuysen es un método unitario sistemático para desacoplar las componentes de energía positiva y negativa del Dirac y obtener una expansión no relativista físicamente transparente: produce un Hamiltoniano efectivo y definiciones de operadores que conectan la teoría relativista de Dirac con la mecánica cuántica no relativista.