La expresión de la función de onda de un estado cuántico en una base de ondas planas o autoestados de momento obtenida mediante transformada de Fourier; es la representación que da las amplitudes para cada componente de momento (o vector de onda) del estado.

Principio

Un estado cuántico puede expandirse en cualquier base completa; la representación de Fourier en particular expande la función de onda en posición como una integral (o suma) sobre autoestados de momento, mostrando cómo el estado se descompone en componentes de onda plana y cómo la simetría traslacional actúa diagonalmente.

Demostración

Escribir ψ(x)=∫ dp ⟨x|p⟩⟨p|ψ⟩ = (1/(2πħ)^{1/2}) ∫ dp e^{ipx/ħ} ψ̃(p). Para una partícula libre los coeficientes de Fourier ψ̃(p) evolucionan independientemente como ψ̃(p,t)=e^{−iE(p)t/ħ}ψ̃(p,0), simplificando la evolución temporal y los cálculos de dispersión.

Aplicación incorrecta

Confundir la representación de Fourier (coeficientes en la base de momento) con una densidad de probabilidad en posición sin transformar de nuevo; o usar la fórmula continua de Fourier para sistemas discretos o periódicos sin pasar a series de Fourier discretas o integrales sobre la zona de Brillouin.

Consecuencia

Hace explícitas las distribuciones de momento y las reglas de selección, simplifica problemas con invariancia traslacional o hamiltonianos diagonales, y da acceso directo a amplitudes de dispersión y operadores en espacio de momento.

Inversión

La representación en espacio de posición es la visión inversa que expresa el mismo estado como amplitudes para autoestados de posición; otras representaciones (energía, momento angular) enfatizan otras simetrías o cantidades conservadas.

Límite

Requiere un conjunto completo de autoestados de momento y normalización apropiada; para sistemas con espectros discretos, volumen finito o periodicidad de red, la representación de Fourier debe sustituirse por representaciones discretas o de Bloch.

Tensión semántica

Existe tensión entre tratar la representación de Fourier como un cambio de base meramente matemático e interpretar sus coeficientes como distribuciones físicamente reales; además, la distinción entre momento p y vector de onda k (p=ħk) puede causar confusión.

Síntesis

La representación de Fourier de una función de onda es la expansión en la base de momento obtenida por transformada de Fourier; revela el contenido en ondas planas y es el punto de partida natural para medidas de momento, evolución libre y análisis de dispersión.