Une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe (ou bilinéaire sur un espace réel) qui associe un scalaire à une paire ordonnée de vecteurs, notée ⟨φ|ψ⟩, linéaire du second argument et conjuguée-linéaire du premier ; elle induit des normes et l'orthogonalité dans les espaces de Hilbert.

Principe

Le produit intérieur satisfait la symétrie par conjugaison ⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩*, la linéarité dans un argument, la positivité ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 avec égalité seulement pour le vecteur nul, et la continuité ; ces axiomes organisent la géométrie, les projections et la théorie spectrale.

Démonstration

Dans C^n, le produit intérieur standard est ⟨φ|ψ⟩ = Σ_i φi* ψi. Pour des fonctions d'onde ψ(x) dans L^2(R), ⟨φ|ψ⟩ = ∫ φ*(x) ψ(x) dx définit l'amplitude de recouvrement et les conditions de normalisation utilisées pour calculer des probabilités.

Mauvaise application

Employer une forme bilinéaire (ne conjuguant pas) pour des amplitudes complexes, ou oublier de conjuguer le premier argument, donne des probabilités incorrectes et brise la symétrie hermitienne des opérateurs.

Conséquence

Un produit intérieur bien défini fournit longueurs, angles, bases orthonormées, projections et valeurs moyennes ; il est la base de l'interprétation probabiliste et de l'évolution unitaire qui préserve les normes.

Inversion

Remplacer l'argument conjuguée-linéaire par la linéarité (c.-à-d. utiliser une forme bilinéaire) dans les espaces complexes inverse la structure et invalide les relations entre opérateurs adjoints et valeurs moyennes.

Limite

S'applique aux vecteurs des espaces à produit intérieur ; toutes les formes bilinéaires ne conviennent pas — la positivité et la symétrie par conjugaison sont requises. Les distributions et fonctions généralisées demandent le cadre d'un espace de Hilbert renforcé pour certains états quantiques.

Tension sémantique

Des usages concurrents appellent le produit intérieur « produit scalaire » en contexte euclidien ou « accouplement » en analyse fonctionnelle ; la tension porte sur quel argument est conjugué et si la forme est sesquilinéaire ou bilinéaire.

Synthèse

Le produit intérieur est l'accouplement sesquilinéaire scalaire qui dote un espace vectoriel d'une structure métrique et d'orthogonalité, permettant amplitudes, normalisation, projections et l'adjoint des opérateurs en mécanique quantique.