La somme directe d'espaces de Hilbert (ou de sous-espaces) est une construction H = H1 ⊕ H2 (éventuellement indexée finiment ou infiniment) telle que tout vecteur de H s'écrit de façon unique comme somme de vecteurs de chaque composante et que l'intersection de deux composantes distinctes est {0}; lorsque les composantes sont orthogonales, on parle de somme directe orthogonale. Elle représente des secteurs quantiques alternatifs plutôt qu'un système composé.

Principe

Les vecteurs d'une décomposition en somme directe admettent une représentation unique par composantes; les opérateurs linéaires se décomposent en blocs compatibles avec les composantes, et l'orthogonalité impose des produits scalaires nuls entre composantes distinctes.

Démonstration

Considérer H = C^2 ⊕ C^1 : un espace de dimension trois construit comme somme directe d'un espace qubit et d'un secteur unidimensionnel. Un vecteur (v,w) avec v∈C^2 et w∈C^1 s'écrit v + w, et les opérateurs préservant la décomposition ont une forme en blocs diagonaux, par exemple diag(A,B) agissant indépendamment sur chaque composante.

Mauvaise application

Confondre la somme directe avec le produit tensoriel et prétendre qu'elle génère de l'intrication entre composantes; ou supposer qu'une somme de sous-espaces est directe sans vérifier que leur intersection est {0}.

Conséquence

Employée correctement, elle donne des représentations en blocs diagonaux pour les opérateurs, des projecteurs nets sur les secteurs et une interprétation en termes de super-sélection ou d'espaces de configuration disjoints; les décompositions spectrales et les multiplicités utilisent la structure en somme directe.

Inversion

Le produit tensoriel H1 ⊗ H2 combine des degrés de liberté pour former des systèmes conjoints autorisant l'intrication et les développements en états produits, à la différence de la somme directe qui encode des alternatives ou des secteurs disjoints.

Limite

La somme directe exige que l'intersection des composantes soit {0} et n'implique pas d'intrication ou de corrélation entre composantes; les sommes directes infinies nécessitent une complétion et une attention topologique, et la somme directe de secteurs soumis à des règles de super-sélection peut interdire des superpositions cohérentes.

Tension sémantique

La tension sémiotique oppose la 'somme' en tant que somme directe (alternatives, structure en blocs) à la 'somme' en tant qu'enveloppe linéaire (span) ou somme algébrique de sous-espaces; il y a aussi tension entre somme directe orthogonale (structure produit scalaire) et simple somme algébrique.

Synthèse

La somme directe, dans le langage des espaces de Hilbert, assemble canoniquement des secteurs quantiques mutuellement exclusifs en un espace plus grand où chaque vecteur global se décompose de façon unique en composantes de secteur, entraînant des opérateurs en blocs et des projecteurs clairement définis tout en restant distincte du produit tensoriel.