L'opérateur linéaire ρ agissant sur l'espace de Hilbert d'un système qui représente son état statistique : il est positif semidéfini, de trace unitaire, et fournit les valeurs moyennes via Tr(ρA) pour tout observable A ; il équivaut en pratique à la matrice de densité lorsqu'une base est choisie.

Principe

Encode à la fois les mélanges probabilistes classiques et les mélanges statistiques quantiques dans un formalisme opérateur unique ; les états admissibles sont hermitiens, positifs et normalisés, et la composition avec des canaux et des mesures se fait par des applications complètement positives et la règle de la trace.

Démonstration

Pour un mode thermique à inverse de température β et hamiltonien H, l'opérateur canonique est ρ = e^{-βH}/Tr(e^{-βH}), qui prédit nombres d'occupation et fonctions de réponse via Tr(ρ·).

Mauvaise application

Employer un opérateur non positif ou non normalisé comme « opérateur de densité » (par exemple après une manipulation algébrique qui brise la positivité) donne des probabilités non physiques et doit être évité.

Conséquence

Une fois représenté par un opérateur de densité, les statistiques d'un système peuvent être propagées par la dynamique (unitaire ou ouverte) et combinées avec les mesures et les traces partielles pour calculer des états réduits et des grandeurs d'information comme l'entropie de von Neumann.

Inversion

L'inverse consiste à traiter l'état uniquement comme vecteur d'état : les projecteurs d'état pur sont des opérateurs de densité de rang un mais omettent les mélanges statistiques nécessitant un ρ de rang supérieur.

Limite

S'applique à tout système quantique décrit par un espace de Hilbert et exclut les objets qui ne sont pas des opérateurs positifs ou qui n'ont pas de trace unitaire ; en pratique, des matrices représentent des opérateurs de densité seulement par rapport à une base ou une représentation choisie.

Tension sémantique

Tension avec une ontologie du vecteur d'état : certaines interprétations privilégient la fonction d'onde vectorielle comme primaire tandis que l'opérateur de densité est perçu comme dérivé ou épistémique ; opérationnellement, l'opérateur de densité décrit complètement les statistiques de mesure.

Synthèse

Un opérateur de densité est la représentation opérateur du contenu statistique d'un état quantique : un opérateur positif et hermitien de trace un qui généralise les projecteurs d'états purs et sert d'entrée à la règle de la trace, aux canaux quantiques et aux définitions entropiques.