La représentation matricielle d'un opérateur de densité dans une base choisie ; les éléments ρ_{ij} = encodent les populations (diagonale) et les cohérences (hors-diagonale) et permettent de calculer des espérances via Tr(ρA) lorsque A est représenté dans la même base.

Principe

La matrice de densité est une représentation dépendant des coordonnées : ses éléments changent sous transformations de base, mais l'opérateur qu'elle représente est indépendant de la base et les prédictions physiques sont invariantes sous changement unitaire de base par conjugaison.

Démonstration

Dans la base computationnelle d'un atome à deux niveaux, un mélange thermique peut être ρ = [[0,6, 0],[0, 0,4]] ; l'application d'une unité de type Hadamard fait apparaître des termes hors-diagonaux dans la nouvelle représentation matricielle tout en conservant les valeurs propres.

Mauvaise application

Interpréter des éléments hors-diagonaux individuels comme des probabilités directement observables sans référence à un observable qui couple ces états de base est trompeur ; seules les traces avec des observables produisent des grandeurs mesurables.

Conséquence

La matrice de densité offre un moyen pratique de calculer les statistiques de mesure, de simuler numériquement la dynamique des systèmes ouverts et d'extraire entropies et fidélités par diagonalisation ou formules matricielles directes.

Inversion

Revenir à une position indépendante de la base met l'accent sur l'opérateur de densité plutôt que sur les éléments matriciels ; se concentrer uniquement sur une forme matricielle unique peut masquer des propriétés d'invariance et de symétrie importantes pour l'analyse.

Limite

Valide seulement par rapport à une base ou représentation choisie ; les systèmes de dimension infinie exigent attention aux domaines et à la convergence des éléments matriciels, et le terme exclut les objets non linéaires ou les distributions qui ne sont pas des opérateurs légitimes.

Tension sémantique

Tension entre commodité de calcul et clarté conceptuelle : les matrices de densité sont des objets numériques pratiques mais peuvent occulter l'invariance au niveau opérateur et le sens physique d'aspects dépendant de la base comme les phases de cohérence.

Synthèse

Une matrice de densité est la représentation matricielle de l'opérateur de densité : une matrice hermitienne, positive semidéfinie et de trace un dont la diagonale donne les populations, les hors-diagonaux encodent les cohérences, et dont la manipulation algébrique par conjugaison unitaire ou trace partielle produit les descriptions réduites physiquement pertinentes.