Un opérateur linéaire P sur un espace de Hilbert qui est hermitien et idempotent (P = P† et P^2 = P) ; il projette les vecteurs sur un sous-espace et représente une mesure idéale oui/non sur ce sous-espace lorsqu'il est associé à la décomposition spectrale d'un observable.

Principe

Les projecteurs décomposent l'identité via des sous-espaces orthogonaux et correspondent à des issues de mesure orthogonales : tout ensemble complet de projecteurs mutuellement orthogonaux somme à l'identité et définit une mesure projective (mesure de von Neumann).

Démonstration

Le projecteur sur un état pur normalisé |psi> s'écrit P = |psi> et laisse inchangée la composante parallèle à |psi>.

Mauvaise application

Confondre les projecteurs avec des opérateurs positifs généraux employés dans les POVM : les éléments POVM doivent seulement être positifs et sommer à l'identité et ne sont pas nécessairement idempotents ni orthogonaux, les traiter comme des projecteurs déforme donc l'action de la mesure.

Conséquence

Une utilisation correcte modélise les postulats de mesure projective idéale : l'état post-mesure après obtention du résultat 'oui' associé à P est P rho P / Tr(P rho), et les probabilités sont Tr(P rho). Les projecteurs fournissent aussi la résolution spectrale des observables.

Inversion

Le contraire met en avant des éléments de mesure généralisés (effets) qui sont positifs mais non idempotents ; remplacer la description projective par des POVM élargit la classe de mesures réalisables et affaiblit l'idée d'effondrement projectif à une mise à jour non projective.

Limite

Les projecteurs sont spécifiquement des opérateurs de projection orthogonaux (hermitiens, idempotents). Des idempotents non orthogonaux ou des matrices idempotentes non hermitiennes existent mais ne sont pas des projecteurs quantiques ; les projecteurs supposent la structure de l'espace de Hilbert et l'orthogonalité.

Tension sémantique

Le terme 'projecteur' peut être confondu avec des superopérateurs de projection ou avec des opérateurs de rang un ressemblant à des matrices densité ; il faut distinguer le projecteur comme opérateur idempotent lié à un observable des matrices densité (positives de trace un) ou des cartes CPTP agissant sur opérateurs.

Synthèse

Un projecteur est l'opérateur hermitien idempotent qui effectue la projection orthogonale sur un sous-espace, servant de représentation mathématique d'un résultat de mesure binaire idéal et de brique de décomposition spectrale des observables.