L'opérateur linéaire I sur un espace vectoriel ou de Hilbert qui envoie chaque vecteur sur lui‑même, I|ψ⟩ = |ψ⟩ pour tous |ψ⟩ ; c'est l'élément neutre multiplicatif de l'algèbre des opérateurs bornés et se note I ou 1.

Principe

Agit de manière neutre sous composition et multiplication scalaire : pour tout opérateur A défini sur le même espace, IA = AI = A ; son spectre est {1} et il est inversible avec I−1 = I.

Démonstration

Dans une base orthonormée finie {|n⟩} l'identité s'écrit I = ∑_n |n⟩⟨n|. Appliquée à un état quelconque |ψ⟩, la somme reproduit |ψ⟩ en recomposant ses coefficients.

Mauvaise application

Confondre les opérateurs identité définis sur des espaces de Hilbert différents (traiter I_H1 comme égal à I_H2), ou ignorer les questions de domaine pour des opérateurs non bornés et considérer une identité restreinte comme globale.

Conséquence

Fournit la relation de clôture utilisée pour développer états et opérateurs en bases, fonde la définition des résolvantes et fonctions de Green via (A − λI), et sert d'élément neutre pour les manipulations algébriques d'opérateurs.

Inversion

L'opérateur nul envoie tout vecteur sur 0 et se comporte de manière opposée pour l'addition et la composition ; remplacer I par un projecteur sur un sous‑espace propre transforme la neutralité en opération de projection.

Limite

Valable pour des opérateurs linéaires sur l'espace considéré ; en dimension infinie il faut préciser si I désigne l'identité sur l'espace entier ou sur un domaine dense propre, et les matrices dépendent de la base choisie.

Tension sémantique

Tension entre l'opérateur identité abstrait et sa représentation matricielle (la matrice identité) ou le scalaire 1 ; subtilité entre identité sur l'espace entier et identité sur un sous‑espace ou composante en somme directe.

Synthèse

L'opérateur identité est l'application linéaire unique qui laisse chaque vecteur inchangé et constitue l'élément neutre multiplicatif de l'algèbre des opérateurs, permettant les développements en base, les déplacements spectraux et les manipulations algébriques cohérentes.