Un ensemble de vecteurs dans un espace à produit scalaire (espace de Hilbert) qui sont mutuellement orthogonaux et chacun de norme unité, et dont l'enveloppe linéaire coïncide avec l'espace (c'est-à-dire qu'ils forment une base).

Principe

Orthogonalité et normalisation : ⟨i|j⟩ = δ_{ij} ; combinées avec le fait de générer l'espace, elles donnent des coefficients d'expansion uniques pour tout vecteur via les produits scalaires.

Démonstration

Pour un système de spin 1/2 la base orthonormée est {|↑⟩,|↓⟩} avec ⟨↑|↓⟩=0 et ⟨↑|↑⟩=⟨↓|↓⟩=1 ; tout état de qubit α|↑⟩+β|↓⟩ est déterminé de manière unique par α,β.

Mauvaise application

Considérer un ensemble orthogonal qui ne couvre pas l'espace comme une base, ou supposer l'orthonormalité alors que les vecteurs sont seulement linéairement indépendants mais non normalisés, conduisant à une extraction incorrecte des coefficients.

Conséquence

Simplifie les développements, le calcul des produits scalaires, les représentations matricielles des opérateurs et garantit des relations de type Parseval/Plancherel pour les normes et probabilités.

Inversion

Utiliser une base linéairement indépendante mais non orthogonale ou un cadre surcomplet ; des développements existent mais les coefficients exigent d'autres procédures d'inversion (p. ex. Gram–Schmidt ou cadres duaux).

Limite

Définie seulement dans des espaces munis d'un produit intérieur ; pour les bases infinies ou continues la normalisation et la complétude nécessitent un traitement soigné (delta-normalisation, espace de Hilbert équipé).

Tension sémantique

Confondue avec des bases générales, des cadres ou des bases propres : la base orthonormée met l'accent sur des vecteurs unitaires mutuellement orthogonaux et des formules de coefficients simples, tandis que les cadres autorisent la redondance et les bases générales peuvent être non orthogonales.

Synthèse

Une base de vecteurs unitaires mutuellement orthogonaux dont l'enveloppe linéaire couvre l'espace de Hilbert, permettant une décomposition simple par produits scalaires et des coordonnées stables des états quantiques.