Application A entre espaces vectoriels (dans les contextes quantiques, entre des domaines d'un espace de Hilbert) qui satisfait la linéarité : A(αψ + βφ) = αAψ + βAφ pour des scalaires α, β et des vecteurs ψ, φ du domaine ; ces opérateurs peuvent être bornés ou non bornés et sont caractérisés par leur domaine, leur image et leurs propriétés algébriques et topologiques.

Principe

La linéarité préserve la superposition : l'action de l'opérateur sur une combinaison linéaire est la combinaison linéaire correspondante des actions. Cette propriété fonde l'usage des méthodes matricielles, de la théorie spectrale et des techniques d'algèbre linéaire en mécanique quantique.

Démonstration

Une matrice en dimension finie définit un opérateur linéaire borné sur C^n ; l'opérateur différentiel -iħ d/dx est un opérateur linéaire (mais non borné) sur un domaine dense approprié de L2(R) ; les projecteurs sur des sous-espaces sont linéaires et idempotents.

Mauvaise application

Traiter un opérateur linéaire non borné comme s'il était borné et défini sur l'ensemble de l'espace de Hilbert, ou ignorer les restrictions de domaine lors de la composition d'opérateurs, conduisant à des expressions non définies ou incorrectes.

Conséquence

Parce que les opérateurs sont linéaires, les problèmes aux valeurs propres, les décompositions spectrales et les techniques d'algèbre linéaire s'appliquent ; la linéarité garantit la superposition des solutions et permet l'utilisation de sommes, produits (lorsque les domaines le permettent) et commutateurs pour caractériser la dynamique et les symétries.

Inversion

Les applications non linéaires (par exemple certaines cartes effectives classiques ou modifications non linéaires de la dynamique quantique) violent la superposition et ne peuvent être traitées par la théorie spectrale standard ; les traiter comme linéaires inverse la structure et contredit les principes quantiques.

Limite

Cette définition concerne les transformations linéaires dans la mécanique quantique sur espaces de Hilbert ; elle exclut les transformations intrinsèquement non linéaires et les grandeurs classiques traitées sans formalisme opérateur. Les distinctions entre opérateurs bornés et non bornés et entre domaines différents sont essentielles.

Tension sémantique

En dimensions finies « opérateur » évoque souvent une matrice définie partout et bornée ; en dimension infinie le concept se scinde en opérateurs bornés, opérateurs non bornés densément définis et opérateurs fermés—cette différence crée une tension entre l'intuition matricielle et l'analyse fonctionnelle rigoureuse.

Synthèse

Un opérateur linéaire est l'objet mathématique qui réalise des transformations linéaires en théorie quantique ; une attention soignée au domaine, au bornage et à la clôture élève l'intuition simple en dimension finie vers le cadre fonctionnel-analytique nécessaire pour les observables différentiels et non bornés.