La norme de trace (norme de Schatten 1) d'un opérateur compact A est la somme de ses valeurs singulières, équivalemment ||A||1 = tr(√(A†A)) ; pour les matrices elle égale la somme des valeurs singulières et caractérise les opérateurs de classe trace en dimension infinie.

Principe

Invariance unitaire et dualité : la norme de trace est invariante par multiplication à gauche et à droite par des unitaires et est la duale de la norme d'opérateur sur l'espace des opérateurs de classe trace ; elle quantifie le contenu total en valeurs singulières et sert à mesurer la distinguabilité des états quantiques.

Démonstration

Pour deux matrices densité ρ et σ, la distance de trace D(ρ,σ) = 1/2 ||ρ−σ||1 donne le biais maximal dans la discrimination d'états par mesures ; pour une matrice A de valeurs singulières σi, ||A||1 = Σi σi et pour un projecteur de rang un P, ||P||1 = 1.

Mauvaise application

Confondre la norme de trace avec la norme Hilbert-Schmidt ou la norme d'opérateur lorsqu'on l'emploie pour borner des quantités opérationnelles conduit à des conclusions erronées ; appliquer la norme de trace à des opérateurs qui ne sont pas de classe trace (somme des valeurs singulières divergente) est invalide en dimension infinie.

Conséquence

Une norme de trace finie implique l'appartenance à la classe trace, des propriétés de compacité et permet l'emploi de distances basées sur la trace et de formules variationnelles ; en information quantique elle fournit la distinguabilité opérationnelle et des bornes sur capacités de canal et taux d'erreur.

Inversion

Le cas inverse est un opérateur non de classe trace (norme de trace infinie) pour lequel les distances basées sur la trace et de nombreuses formules de trace échouent et où il faut utiliser d'autres topologies (forte ou faible) ou outils analytiques.

Limite

La norme de trace est définie pour les opérateurs de classe trace (nucleus) ; en dimension finie tous les opérateurs sont de classe trace et la notion coïncide avec la somme des valeurs singulières, tandis qu'en dimension infinie il faut vérifier la sommabilité des valeurs singulières.

Tension sémantique

Tension entre la norme de trace et la norme Hilbert-Schmidt (Frobenius) et la norme d'opérateur : chacune ordonne différemment les opérateurs et possède des significations opérationnelles distinctes — la norme de trace pour le contenu total en valeurs singulières et la distinguabilité quantique, HS pour une mesure d'énergie, la norme d'opérateur pour le pire cas d'amplification.

Synthèse

La norme de trace somme les valeurs singulières pour mesurer la taille totale d'un opérateur de façon invariante unitairement ; elle identifie la classe trace, soutient les distances de trace en information quantique et complète d'autres normes d'opérateur par dualité et interprétations opérationnelles différentes.