Une collection {E_i} d'opérateurs semi-définis positifs (effets) sur un espace de Hilbert qui sommées donnent l'opérateur identité, ∑_i E_i = I ; elle représente une mesure quantique généralisée dont l'issue i apparaît avec la probabilité p(i)=tr(ρ E_i).

Principe

Principe de la mesure généralisée : les probabilités des issues sont données par la trace de l'état avec des opérateurs positifs, et la complétude (somme égale à l'identité) garantit que les probabilités pour toutes les issues totalisent un pour tout état.

Démonstration

Un POVM à trois issues sur un qubit peut être {E_1,E_2,E_3} avec E_i = (2/3)|v_i⟩⟨v_i| pour trois vecteurs unitaires symétriques |v_i⟩ ; ces opérateurs positifs sommés donnent I et fournissent p(i)=tr(ρ E_i).

Mauvaise application

Employer des opérateurs qui ne somment pas à l'identité ou qui ne sont pas positifs (par exemple à valeurs propres négatives) en les traitant comme éléments de mesure valides ; ou confondre POVM avec une distribution de probabilité classique sans lien opérateuriel.

Conséquence

Les POVM étendent les mesures projectives, permettant des mesures non nettes, la discrimination optimale d'états et des schémas minimisant l'erreur ou la perturbation ; ils fournissent les probabilités opérationnelles des issues sans préciser l'état après mesure.

Inversion

Une mesure à valeurs projectives (PVM) est le cas particulier où chaque E_i est un projecteur orthogonal et la mesure est nette ; restreindre aux projecteurs retrouve la formalisation des mesures projectives comme POVM extrémal.

Limite

Les POVM sont des ensembles d'opérateurs semi-définis positifs sur le même espace de Hilbert qui sommés donnent l'identité ; ils ne spécifient pas à eux seuls l'état post-mesure ou le traitement classique et excluent les descriptions purement classiques non opératoriales.

Tension sémantique

Tension avec les PVM (éléments projectifs idempotents) et avec les instruments/Représentations de Kraus (qui incluent la mise à jour de l'état) : les POVM donnent des probabilités mais pas des mises à jour d'état uniques.

Synthèse

Un POVM est la généralisation opératorielle d'une mesure de probabilité classique : un ensemble d'opérateurs positifs sommant à l'identité qui attribue des probabilités par la règle de la trace, couvrant toutes les statistiques mesurables sans imposer la netteté projective.