L'élément matriciel de l'opérateur d'évolution temporelle dans une base choisie — généralement la position — K(x,t;x',t') = 〈x|U(t,t')|x'〉, qui agit comme noyau intégral transformant une fonction d'onde initiale en sa forme ultérieure : ψ(x,t) = ∫ K(x,t;x',t') ψ(x',t') dx'.

Principe

Le noyau satisfait l'équation de Schrödinger dans les coordonnées d'observation avec une condition initiale delta dans les coordonnées sources, respecte la règle de composition K(x2,t2;x0,t0)=∫dx1 K(x2,t2;x1,t1)K(x1,t1;x0,t0) et transporte l'information de phase responsable des interférences et de la dispersion.

Démonstration

Pour la particule libre le noyau est gaussien en (x-x') avec une phase complexe proportionnelle à l'action classique ; insérer K dans ψ(x,t) = ∫K ψ(x',t0) dx' produit l'étalement connu des paquets d'ondes initialement localisés et reproduit les limites de phase stationnaire classiques.

Mauvaise application

Traiter K comme une densité de transition de probabilité ou ignorer sa phase complexe lors de la composition d'amplitudes mène à des erreurs quantitatives et qualitatives : les interférences disparaissent si les phases sont supprimées et les prédictions se réduisent à tort à un comportement de diffusion classique.

Conséquence

Connaître le noyau fournit une méthode directe pour obtenir les fonctions d'onde évoluées, les fonctions de Green pour problèmes inhomogènes et des approximations semiclassiques ; il montre explicitement comment les amplitudes spatiales initiales interfèrent pour produire les distributions observées ultérieurement.

Inversion

Employer un noyau de matrice densité ou un noyau markovien classique remplace la composition d'amplitudes par la convolution de probabilités et modélise la décohérence ou la dynamique stochastique d'un système ouvert plutôt que la propagation cohérente d'amplitudes.

Limite

Le noyau du propagateur dépend de la base (position, impulsion, énergie) et est sensible aux conditions aux limites, aux potentiels et aux domaines d'opérateurs ; un comportement singulier quand t→t' exige une interprétation distributionnelle et une régularisation dans certains contextes.

Tension sémantique

Le noyau est à la fois un outil de calcul concret et un objet dépendant de la représentation ; la tension naît entre l'intuition spécifique à une base (par ex. trajectoires en espace de position) et l'algèbre opératorielle indépendante de la base où le noyau n'est qu'une représentation matricielle.

Synthèse

Le noyau du propagateur est l'élément matriciel de U propre à une base servant de noyau intégral pour transporter fonctions d'onde initiales en finales, encodant phases et interférences via une loi de composition réalisant explicitement l'évolution quantique.