Une exponentielle à valeurs opérateurs avec ordonnancement temporel, notée T exp(−(i/ħ) ∫ dt H(t)), qui engendre l'évolution unitaire lorsque les générateurs à instants différents ne commutent pas ; c'est la représentation compacte dont le développement reproduit la série de Dyson.

Principe

Lorsque les générateurs (hamiltoniens) à différents instants ne commutent pas, l'exponentiation naïve d'une intégrale est invalide ; l'ordonnancement temporel réordonne les facteurs opérateur par argument temporel de sorte que l'exponentielle devienne un produit-ordonné cohérent avec la non-commutativité et la causalité.

Démonstration

L'évolution en image d'interaction s'écrit U_I(t,t0) = T exp(−(i/ħ) ∫_{t0}^t dt' H_I(t')). Le développement de cette exponentielle ordonnée dans le temps donne les intégrales emboîtées de Dyson ; pour H_I(t) commutant à différents instants l'exponentielle ordonnée coïncide avec l'exponentielle ordinaire de l'intégrale temporelle.

Mauvaise application

Traiter l'exponentielle ordonnée comme une exponentielle ordinaire et commuter des opérateurs non commutatifs, ou appliquer des simplifications Baker–Campbell–Hausdorff sans vérifier les relations de commutation, produit des expressions opératoires incorrectes ; ignorer l'ordonnancement sur contour/temps dans des problèmes hors d'équilibre est une autre erreur courante.

Conséquence

Fournit une définition concise de l'opérateur d'évolution qui respecte la non-commutativité des opérateurs et la causalité ; elle justifie la série de Dyson et sert de point de départ pour des resurfaçages et des développements alternatifs (Magnus, factorisations en produit ordonné).

Inversion

Si tous les générateurs instantanés commutent pour des temps différents, l'exponentielle ordonnée dans le temps se réduit à exp(−(i/ħ) ∫ H(t) dt), l'exponentielle ordinaire du générateur intégré ; l'inversion est donc la limite des temps commutants où l'ordonnancement devient sans objet.

Limite

S'applique à des générateurs à valeurs opérateurs continus par morceaux et nécessite une prescription pour l'ordonnancement aux temps égaux et pour les ordonnancements sur contour dans les formules hors d'équilibre ou à température finie ; pour des dépendances temporelles singulières il faut régularisation et maîtrise des domaines.

Tension sémantique

Se rapporte à des réorganisations alternatives : l'expansion de Magnus donne une unique exponentielle d'une série de commutateurs emboîtés, tandis que l'exponentielle ordonnée est un objet produit-ordonné ; il existe une tension entre la notation compacte formelle et les approches pratiques de série/resommation.

Synthèse

L'exponentielle ordonnée dans le temps est l'objet opérateur compact qui encode l'évolution causale non commutative ; elle impose l'ordonnancement temporel de sorte que son développement donne la série de Dyson et elle fait le lien avec des techniques de resurfaçage comme Magnus et les factorisations en produit ordonné.