Une deux-forme géométrique locale définie sur un espace de paramètres (souvent l'espace des impulsions) qui mesure le taux infinitésimal de variation de la phase de Berry ; mathématiquement, c'est le rotationnel (dérivée extérieure) de la connexion de Berry et l'intégrande dont l'intégrale sur une variété fermée donne des invariants topologiques.

Principe

L'idée organisatrice est que le transport adiabatique des états propres quantiques accumule une phase géométrique ; la courbure de Berry en est la densité locale et gouverne les contributions géométriques aux observables physiques via son flux.

Démonstration

Pour des électrons dans une bande de Bloch, la courbure de Berry en espace des impulsions produit une vitesse transversale anormale proportionnelle au champ électrique appliqué, donnant une contribution à la conductivité Hall anormale intrinsèque égale à l'intégrale de la courbure sur la zone de Brillouin.

Mauvaise application

Considérer la courbure de Berry comme un champ magnétique ordinaire en espace réel et appliquer des raisonnements de force de Lorentz locaux pour prédire des forces sur des paquets d'ondes localisés sans tenir compte de l'origine dans l'espace des paramètres et de la dépendance au jauge.

Conséquence

Bien identifiée, la courbure de Berry explique des phénomènes de transport et de réponse robustes (effet Hall anomal, aimantation orbitale, charge topologique) et ses valeurs intégrées classent les bandes par des invariants topologiques entiers (nombres de Chern).

Inversion

L'inversion correspond à une courbure nulle ou de signe opposé : une courbure nulle implique l'absence de contribution géométrique et une topologie triviale ; le changement de signe inverse les réponses transversales anormales et modifie les indices topologiques.

Limite

Définie sur des variétés de paramètres où les états propres sont lisses ; les singularités (dégénérescences) exigent un recouvrement par morceaux. Localement dépendante du choix de jauge mais invariante une fois intégrée sur des surfaces fermées. Elle ne représente pas un champ électromagnétique classique en espace réel sauf via des équations semiclassiques effectives.

Tension sémantique

Une tension apparaît entre l'interpréter comme un analogue de champ magnétique (utile pour l'intuition) et reconnaître qu'il s'agit d'une propriété de la géométrie de l'espace d'états plutôt que d'un champ électromagnétique physique ; il rivalise également conceptuellement avec la phase de Berry globale (intégrale versus densité locale).

Synthèse

La courbure de Berry est la densité locale et géométrique de la phase de Berry sur une variété de paramètres : c'est le rotationnel de la connexion de Berry dont le flux contrôle les contributions géométriques à la dynamique quantique et qui classe les propriétés topologiques des bandes et des états.