L'expression analytique donnant la probabilité de transition non adiabatique pour un croisement linéaire isolé à deux niveaux soumis à un balayage constant ; dans la paramétrisation canonique la probabilité de transition diabatique est exponentielle en le carré du couplage divisé par la vitesse de balayage, souvent écrite P = exp(−π Δ^2/(2 ħ α)) avec Δ le paramètre de gap minimal et α la vitesse de variation de la différence d'énergie diabatique.

Principe

Dans le modèle à deux niveaux et balayage linéaire, l'équation de Schrödinger admet des solutions par appariement asymptotique dont les amplitudes de diffusion donnent une dépendance exponentielle simple sur le paramètre d'adiabaticité de Landau–Zener comparant le carré du couplage à la vitesse de balayage et à la constante de Planck.

Démonstration

Pour le Hamiltonien H(t) = (α t/2) σ_z + (Δ/2) σ_x, en partant d'un état diabatique aux temps précoces, la probabilité de trouver le système dans l'autre état diabatique aux temps tardifs est P_LZ = exp(−π Δ^2/(2 ħ α)) ; changer Δ ou α modifie les probabilités selon la formule.

Mauvaise application

Employer la formule telle quelle pour des dépendances temporelles non linéaires, des couplages dépendant du temps, des croisements multinationnels ou en présence d'une forte décohérence sans correction conduit à des prédictions quantitatives inexactes ; les interférences dues à des passages multiples invalident aussi la formule simple.

Conséquence

La formule fournit une prédiction compacte et testable expérimentalement des probabilités de transition dans de nombreux scénarios à deux niveaux pilotés, et définit des régimes adiabatique et diabatique naturels utilisés pour le contrôle et l'interprétation des expériences.

Inversion

La limite opposée à la prédiction non adiabatique de Landau–Zener est la limite parfaitement adiabatique : quand Δ^2/α → ∞ l'exponentielle tend vers zéro et les transitions non adiabatiques sont supprimées ; inversement pour Δ^2/α → 0 les transitions tendent vers une probabilité unité.

Limite

Valide pour le modèle canonique Landau–Zener : système isolé à deux niveaux, balayage linéaire de la différence d'énergie diabatique, couplage constant Δ, dynamique unitaire cohérente et temps asymptotiques ; pas généralement valide pour balayages non linéaires, Δ dépendant du temps, forte dissipation ou structures denses de niveaux.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'exponentielle compacte de Landau–Zener et des formules plus élaborées issues de généralisations multinationnelles, à temps fini ou incluant la décohérence ; les formules proches diffèrent par des facteurs préfixes, des arguments ou des phases d'interférence selon les détails du modèle.

Synthèse

La formule de Landau–Zener résume la probabilité de transition non adiabatique de premier ordre pour un croisement linéaire isolé en reliant le carré du couplage à la vitesse de balayage par une loi exponentielle, constituant une règle quantitative de référence à adapter lorsque les hypothèses du modèle échouent.